Tower of Hanoi onlayn, pulsuz

Tower of Hanoi — tarixin ən məşhur məntiqi tapmacalarından biridir, maraqlı bir əfsanə və zəngin mədəni irs ilə əhatə olunmuşdur. Quruluşunun sadəliyinə baxmayaraq — üç dirək və müxtəlif ölçülü disklər dəsti — bu oyun məntiqin dərinliyi və onunla bağlı mifin cəlbediciliyi ilə seçilir. XIX əsrdə icad edilən Tower of Hanoi tez bir zamanda tapmaca həvəskarları və riyaziyyatçılar arasında bütün dünyada populyarlıq qazandı.

Onun tarixi yalnız zərif qaydaları səbəbindən deyil, həm də oyunun müxtəlif ölkələrin mədəniyyətlərinə, təhsil təcrübələrinə və hətta elmi araşdırmalara göstərdiyi təsirə görə diqqətə layiqdir. Bu məqalədə biz Tower of Hanoi oyununun mənşəyini ətraflı araşdıracaq, onun formasının və mənasının necə inkişaf etdiyini izləyəcək, az tanınan faktları paylaşacaq və sonra qaydalar və strategiyaların təsvirinə keçəcəyik. Nəticədə siz bu tapmacanın nəsillər boyu niyə insanları valeh etdiyini və hələ də intellektual incəliyin nümunəsi hesab olunmasının səbəbini biləcəksiniz.

Tower of Hanoi tarixi

Mənşə və müəllif

Tower of Hanoi tapmacası 1883-cü ildə Fransada yaradılıb və formanın sadəliyi ilə zərif riyazi ideyanın qeyri-adi birləşməsinə görə tez bir zamanda məşhurlaşıb. Onun müəllifi fransız riyaziyyatçısı Édouard Lucas idi — ədəd nəzəriyyəsi sahəsindəki araşdırmaları ilə, həmçinin «əyləncə riyaziyyatı» adlanan elmə populyar yanaşmaları ilə tanınmış alim.

Lakin Lucas oyunu ictimaiyyətə öz adı ilə deyil, uydurma obraz altında təqdim etməyi seçdi: «Siamdan professor N. Claus» — guya qədim tapmacanı Tonkindən (müasir Vyetnamın şimal hissəsi) gətirmiş sirli bir şəxs. Bu mistifikasiya, ekzotik mənşəyə işarə ilə tamamlanaraq, tapmacaya romantik bir aura verdi və onu XIX əsrdə «şərq» əfsanələri və qeyri-adi şeylərə maraq göstərən Avropa auditoriyası üçün xüsusilə cəlbedici etdi.

Zaman keçdikcə diqqətli tədqiqatçılar gizli söz oyunu aşkar etdilər. Məlum oldu ki, N. Claus (de Siam) adı Lucas d’Amiens (Amiensdən Lucas) anaqramıdır, təsvirlərdə adı çəkilən «Li-Sou-Stian kollec» isə hərflərin yerdəyişməsi ilə Lucasın müəllim işlədiyi Parisdəki real Saint Louis liseyinə çevrilir. Beləliklə, diqqətlə yaradılmış əfsanə müəllifin öz imzasını qoyduğu ağıllı bir rebus idi.

Bu mistifikasiyanı ilk dəfə ictimaiyyət qarşısında fransız elminin populyarlaşdırıcısı Gaston Tissandier açdı. Öz yazılarında o, «çinli mandarin» obrazının arxasında Lucasın gizləndiyini göstərdi və bununla da oyunun həqiqi mənşəyini aşkara çıxardı. Bu hekayə Tower of Hanoi oyununu yalnız maraqlı tapmaca deyil, həm də simvollar və allüziyalarla oynanan mədəni fenomen kimi mövqeyini daha da gücləndirdi.

Oyunun ilk nəşri

Başlanğıcda tapmaca Fransada La Tour d’Hanoï adı altında buraxıldı və mifik mənşəyini populyar formada izah edən çap olunmuş təlimatla müşayiət olundu. Dəst taxta dayaqdan, üzərində üç şaquli dirəkdən və ölçülərinə görə fərqlənən səkkiz deşikli diskdən ibarət idi. Səkkiz disk seçimi məhz Édouard Lucas tərəfindən edilmişdi: bu say oyunu kifayət qədər çətin göstərir, lakin eyni zamanda həll edilə bilən qalırdı.

Hər bir dəstdə qızıl disklərdən ibarət qüllə əfsanəsini danışan kiçik bir broşür də vardı. Bu bədii element tapmacaya xüsusi mistik çalar verirdi və onu sadəcə riyazi bir məsələdən daha böyük bir şeyə çevirirdi. Quruluşun sadəliyi və parlaq əfsanənin uğurlu birləşməsi sayəsində oyun dərhal digər əyləncələr arasında seçildi və ictimaiyyətin canlı marağına səbəb oldu.

1884–1885-ci illərdə Tower of Hanoi haqqında təsvirlər və illüstrasiyalar populyar jurnallarda görünməyə başladı. Fransız nəşri La Nature «Brahma qülləsi» əfsanəsinin variantını dərc edərək yeni tapmacanı şərq mifinin bir hissəsi kimi təqdim etdi. Həmin il Amerika jurnalı Popular Science Monthly məsələnin həll prosesini təsvir edən qravüralı bir məqalə dərc etdi. Bu nəşrlər oyunun Fransadan kənarda yayılmasında mühüm rol oynadı: Avropada və ABŞ-da Tower of Hanoi haqqında eşidildi və bu da onun həm alimlərin, həm də geniş ictimaiyyətin diqqətinə layiq klassik tapmaca kimi statusunu möhkəmləndirdi.

Brahma qülləsi əfsanəsi

Tapmacanın uğurunun əsas elementlərindən biri Lucas tərəfindən uydurulmuş və ya qədim süjetlərdən ilhamlanmış əfsanə idi. Bu hekayədə hadisələr hind tanrısı Brahmanın məbədinə (bəzən rəvayətlərdə monastıra) köçürülür, burada rahiblər və ya kahinlər əbədi işlə məşğul idilər: üç almaz dirəyin üzərinə düzülmüş 64 diski daşımaq. Rəvayətə görə, bu disklər dünyanın yaradılışı anında tanrı tərəfindən saf qızıldan hazırlanmış və qoyulmuşdu. Qayda sərt və dəyişməz idi — bir dəfəyə yalnız bir disk hərəkət etdirilməli və böyük heç vaxt kiçiyin üzərinə qoyulmamalı idi.

Mifə görə, bütün 64 disk bir dirəkdən digərinə köçürüldükdə, dünya öz mövcudluğunu başa vurmalı idi. Əfsanənin müxtəlif variantlarında hadisə yeri ya Vyetnamın Hanoy şəhəri, ya da Hindistanın Benaresdəki məbədi göstərilirdi. Buna görə oyun həm «Hanoy qülləsi», həm də «Brahma qülləsi» adları ilə tanınır. Bəzi rəvayətlərdə rahiblərin gündə yalnız bir gediş etdiyi, digərlərində isə onların əməyinin zamanla məhdudlaşmadığı deyilir.

Lakin ən sürətli ssenarini təsəvvür etsək — hər saniyədə bir gediş — insanlığın narahat olmasına dəyməz: tapşırığın tamamlanması üçün 2^64 – 1 hərəkət tələb olunur, bu isə təxminən 585 milyard il deməkdir. Bu müddət müasir elm tərəfindən bilinən Kainatın yaşını onlarla dəfə üstələyir. Beləliklə, əfsanə yalnız tapmacaya dramatik çalar verməklə qalmadı, həm də zərif yumor hissəsi daşıyırdı: o, məsələnin son dərəcə çətin olduğunu vurğulayır, eyni zamanda riyaziyyatçılara və tapmaca həvəskarlarına «dünyanın sonunu hesablamağa» imkan verirdi.

Yayılması və inkişafı

Tower of Hanoi oyunu Avropada tez bir zamanda populyarlıq qazandı. XIX əsrin sonuna yaxın bu oyun yalnız Fransada deyil, həm də İngiltərədə və Şimali Amerikada tanınırdı. 1889-cu ildə Édouard Lucas tapmacanın təsviri ilə ayrıca bir kitabça nəşr etdi, 1891-ci ildə isə onun ölümündən sonra məsələ məşhur «Récréations mathématiques» («Riyazi əyləncələr») əsərinin ölümündən sonrakı cildinə daxil edildi. Bu nəşr sayəsində Tower of Hanoi nəhayət əyləncə riyaziyyatının klassik irsinin bir hissəsi kimi möhkəmləndi.

Təxminən eyni dövrdə tapmaca müxtəlif adlarla yayılmağa başladı: «Brahma qülləsi», «Lucas qülləsi» və başqa adlarla, ölkə və nəşriyyata uyğun olaraq. Oyuncaq istehsalçıları fərqli ölkələrdə öz versiyalarını buraxırdılar, çünki Lucas ixtirəyə patent almamışdı və quruluş sərbəst şəkildə təkrarlana bilirdi. İngiltərədə XX əsrin əvvəlində, məsələn, The Brahma Puzzle adı ilə buraxılmış nəşrlərə rast gəlinirdi. Londonun R. Journet şirkəti tərəfindən 1910–1920-ci illərdə buraxılmış nümunələr məlumdur, onların qutularında rahiblər və 64 qızıl disk haqqında əfsanənin mətni çap olunmuşdu.

Amerika Birləşmiş Ştatlarında Tower of Hanoi məşhur «elmi oyuncaqların» assortimenti arasında yer aldı və tez bir zamanda digər məşhur məntiqi əyləncələrlə yanaşı öz yerini tapdı. Quruluşun sadəliyi — üç dirək və disk dəsti — oyunun asanlıqla hazırlanmasına imkan verirdi, əfsanə variantları isə onu daha da cəlbedici edirdi. XX əsrin ilk onilliklərində tapmaca minlərlə nüsxədə yayıldı və 15-pazl kimi klassiklər arasında, daha sonralar isə Rubik kubu ilə yanaşı öz yerini aldı (baxmayaraq ki, Tower of Hanoi Rubik kubundan xeyli əvvəl yaranmışdı).

Qaydaların dəyişməzliyi və elmi əhəmiyyəti

Tower of Hanoi yarandığı vaxtdan bəri onun qaydaları demək olar ki, dəyişməyib. Əsas prinsip — diskləri yalnız bir-bir köçürmək və böyük diski heç vaxt kiçiyin üstünə qoymamaq — hələ 1883-cü ildə Édouard Lucas tərəfindən necə müəyyən edilmişdisə, bu gün də eyni şəkildə qalır. Qaydaların dəyişməzliyi ilkin quruluşun tamlığını sübut edir.

Zamanla isə oyunun mənası dəyişdi: o, sadəcə zərif əyləncə olmaqdan çıxdı və müxtəlif sahələrdə bir vasitəyə çevrildi. Riyaziyyatçılar minimum hərəkətlərin qanunauyğunluğuna diqqət yetirdilər: 1, 3, 7, 15, 31 və sairə. Bu ardıcıllıq binom əlaqələri və ikilik say sistemi ilə bağlı idi, məsələnin strukturu isə məntiqi oyunların riyaziyyatın nəzəri əsasları ilə necə sıx bağlı olduğunu açıq şəkildə nümayiş etdirdi.

İnformatikada Tower of Hanoi rekursiyanın klassik nümunəsinə çevrildi — məsələnin kiçik ölçülü bir neçə oxşar alt-məsələyə bölündüyü metod. XX əsrin ikinci yarısında tapmaca proqramlaşdırma kurslarına daxil edildi: tələbələr bu nümunə vasitəsilə rekursiv alqoritmlər yazmağı və mürəkkəb məsələnin hissələrə bölünməsinin sadə və zərif həllə necə gətirdiyini öyrənirdilər.

Zamanla oyun psixologiyada da istifadə olunmağa başladı. «Tower of Hanoi testi» insanın kognitiv qabiliyyətlərini, hərəkətləri planlaşdırma bacarığını və addımlar ardıcıllığını yadda saxlama imkanını qiymətləndirmək üçün tətbiq edilir. Belə tapşırıqlar kəllə-beyin travmalarının nəticələrinin diaqnostikasında, yaşla bağlı kognitiv pozuntuların öyrənilməsində və beynin ön paylarının fəaliyyətində istifadə olunur.

Nəticədə Tower of Hanoi XIX əsrin salon əyləncələrinin sərhədlərini çoxdan aşdı. Bu gün o həm təhsil, həm elm, həm də diaqnostika vasitəsi kimi qəbul edilir. Üç dirək və disk dəstindən ibarət sadə forma bir sıra tədqiqatların əsasına çevrildi və oyun həm məntiqi məsələləri sevənlər, həm də riyaziyyat, informatika və psixologiya mütəxəssisləri üçün öz cəlbediciliyini qorudu.

Populyarlıq coğrafiyası

Tower of Hanoi adı birbaşa Vyetnamın paytaxtı Hanoya işarə edir, baxmayaraq ki, tapmacanın əslində şərq kökləri yoxdur və XIX əsrin sonunda tamamilə Fransada uydurulmuşdu. Bununla belə, əfsanənin ekzotik çaları çox uğurlu oldu: o, oyuna sirr qatdı və onun geniş yayılmasına kömək etdi. Məhz buna görə müxtəlif ölkələrdə oyun Hanoyla bağlı ad altında möhkəmləndi: ingilisdilli dünyada — Tower of Hanoi, Fransada — Tour d’Hanoï, Almaniyada — Türme von Hanoi və sairə.

Sovet İttifaqında tapmaca ən geci 1960-cı illərdə tanındı: o, əyləncəli məsələlər toplusuna və riyazi əyləncələr haqqında kitablara daxil edilirdi. Bir neçə nəsil məktəblilər üçün Tower of Hanoi tanış bir klassikaya çevrildi, daha sonra isə kompüter adaptasiyaları əldə etdi.

Maraqlıdır ki, Vyetnamda bu cür qədim tapmacaya dair tarixi dəlillər mövcud olmasa da, oyun tərcümədə yayılmış və tanınır. Beləliklə, adı əfsanədə istifadə edilən ölkəyə, Avropa ixtirası kimi geri qayıtdı.

Bu gün Tower of Hanoi oyununun populyarlıq coğrafiyası bütün dünyanı əhatə edir. Onu uşaq bağçalarında, uşaqların rəngli plastik üzükləri hərəkət etdirdikləri yerdə və universitet auditoriyalarında, informatika tələbələrinin məsələnin rekursiv alqoritm kimi proqramlaşdırıldığı dərslərdə görmək olar. Sadə hazırlanma üsulu — bir neçə taxta lövhə və disk dəsti kifayətdir — və qaydaların universallığı bu tapmacanı həqiqətən də ümumdünya irsi etdi, hər mədəniyyətdə tanınan və eyni dərəcədə maraqlı.

Tower of Hanoi tarixi detallarla zəngindir, lakin onun yolunu müşayiət edən və ona xüsusi rəng verən nadir epizodlar və süjetlər də az maraqlı deyil.

Tower of Hanoi haqqında maraqlı faktlar

• Disklərin sayına görə rekord. Muzeylərdə və şəxsi kolleksiyalarda otuz və ya daha çox diskli nəhəng Tower of Hanoi nümunələrinə rast gəlinir. Belə məsələnin minimum hərəkət sayı bir milyardı aşır, buna görə də onu əl ilə həll etmək demək olar ki, mümkün deyil. Bu cür dəstlər oyun üçün deyil, tapmacanın sonsuz mürəkkəbliyini və riyazi dərinliyini vurğulayan nümayiş eksponatları kimi hazırlanırdı.
• Populyar mədəniyyətdə qüllə. Tower of Hanoi dəfələrlə ədəbiyyatda, kinoda və televiziya seriallarında peyda olub. Amerikalı yazıçı Eric Frank Russell-in məşhur elmi-fantastik hekayəsində «Now Inhale» (1959) qəhrəman edamını gözləyərkən öz «son istəyini» Tower of Hanoi oyunu seçir. O, bunu qəsdən edir, məsələnin əfsanəvi sonsuzluğunu bilirdi. Hadisəni rəqabətli etmək üçün yadplanetlilər tapmacanı duellə çevirirlər: iki oyunçu növbə ilə gediş edir, qalib isə sonuncu hərəkəti edən olur. 64 disklik qülləni seçərək qəhrəman əslində özünə sonsuz möhlət təmin edir. Müasir filmdə də oyun görünür. «Rise of the Planet of the Apes» (2011) filmində Tower of Hanoi genetik dəyişdirilmiş meymunlar üçün intellekt testi kimi istifadə olunur: onlardan biri dörd üzüklü qülləni iyirmi gedişdə toplayır. Bu minimal mümkün saydan çoxdur (optimal həll on beş hərəkət olardı), lakin səhnə heyvanların zehni qabiliyyətlərini vurğulayır və məsələnin mürəkkəbliyini vizual şəkildə göstərir. Klassik Britaniya serialı «Doctor Who» da bu tapmacaya müraciət edib. «The Celestial Toymaker» (1966) seriyasında Doktora on disklik Tower of Hanoi həll etmək təklif edilir. Şərt çox sərt idi: o, dəqiq 1023 gediş etməli idi — nə az, nə çox. Bu rəqəm təsadüfi seçilməmişdi: 1023 on diskli məsələnin minimal mümkün hərəkət sayıdır. Beləliklə, qəhrəman bircə səhv etmədən bütün yolu keçməli idi ki, bu da Tower of Hanoi oyununu zaman səyahətçisi dahinin belə güclə ötəsindən gələ biləcəyi bir sınaq kimi bir daha təsdiqlədi.
• Videooyunlarda iştirakı. Maraqlıdır ki, Tower of Hanoi bir növ «tapmaca etalonu»na çevrilmiş və videooyun dünyasına da daxil olmuşdur. Kanadalı BioWare studiyası Tower of Hanoi əsasında mini-oyunu öz layihələrinin bir çoxuna əlavə edir. Məsələn, Jade Empire rol oyununda oyunçu üzükləri dirəklər arasında köçürməli olur, oxşar tapmacalara isə Star Wars: Knights of the Old Republic, Mass Effect və Dragon Age: Inquisition seriyalarında rast gəlinir. Bu epizodlar tez-tez qədim mexanizmlər və ya qəhrəmandan zəkalı yanaşma tələb edən sınaqlar kimi təqdim olunur. Tapmaca həmçinin klassik kvestlərdə də görünür, məsələn, The Legend of Kyrandia: Hand of Fate oyununda gizli mexanizmlərdən biri — sehrli ritual kimi maskalanmış Tower of Hanoi-dir. Bu cür «cameo»lar Tower of Hanoi oyununu məntiqi məsələnin universal simvolu kimi möhkəmləndirir.
• Təhsil aspekti. Əfsanələr və əyləncələrdən başqa, Tower of Hanoi elmdə də iz buraxıb. 2013-cü ildə alimlər «The Tower of Hanoi: Myths and Maths» (Hinz et al.) adlı monoqrafiya dərc ediblər, burada bu tapmacanın və onun variantlarının riyazi xüsusiyyətləri ətraflı araşdırılır. Məlum oldu ki, onun ətrafında «Tower of Hanoi qrafı» nəzəriyyəsi qurulub və bu, Sierpinski fraqmenti və riyaziyyatın digər bölmələri ilə bağlıdır. Koqnitiv psixologiyada «Tower of Hanoi testi» mövcuddur, bunun vasitəsilə beynin icraedici funksiyaları — mürəkkəb qaydalara əməl etmək və planlaşdırmaq bacarığı yoxlanılır. Tibb sahəsində bu test beyin travmalarından sonra xəstələrin bərpa dərəcəsini qiymətləndirmək üçün istifadə olunur: məsələni həll etmək qabiliyyəti beynin ön paylarının işi və yeni sinir əlaqələrinin formalaşması üçün göstərici rolunu oynayır. Beləliklə, bir vaxtlar sadəcə əyləncə oyuncağı kimi satılan oyun ciddi araşdırmaların obyekti və hətta reabilitasiya vasitəsi olmuşdur.

Tower of Hanoi tarixi, zərif bir riyazi ideyanın necə mədəni fenomenə çevrilə biləcəyinin parlaq nümunəsidir. Bu tapmaca əyləncə və elmin qovşağında doğuldu, miflər və simvolizm ilə zənginləşdi, lakin öz əsas cazibəsini — təmiz məntiqi gözəlliyini — itirmədi. XIX əsrin sonundakı Paris salonlarından müasir siniflərə və rəqəmsal tətbiqlərə qədər Tower of Hanoi intellektual klassika statusunu qoruyur. O, rekursiv düşüncənin gücü üzərində düşünməyə vadar edir, səbr və dəqiq planlaşdırmanı öyrədir. Onun tarixi ilə tanış olduqda, bu kiçik disk qülləsinə — sonsuz həll axtarışının simvoluna — hörmətlə yanaşmamaq mümkün deyil.

Özünüzü dünyanın taleyini əlində saxlayan kahin kimi hiss etmək və ya sadəcə məntiqi düşüncənizi yoxlamaq istəyirsiniz? İkinci hissədə biz Tower of Hanoi oyununu necə oynamağı izah edəcək, qaydaları ətraflı nəzərdən keçirəcək və bu əfsanəvi tapmacanı həll etmək üçün məsləhətlər verəcəyik. Tarixi anlamaq oyunu mənimsəməkdə sizə əlavə ruhlandırma versin — qarşınızda maraqlı intellektual çağırış gözləyir.

Tapmaca yalnız əfsanəsinə görə deyil, həm də maraqlı mexanikasına görə dünya şöhrəti qazanmışdır. İndi isə biz Tower of Hanoi oyununu necə oynamağı ətraflı təsvir edəcək və bəzi taktiki məsləhətləri açıqlayacağıq. Bu məsələni həll etməkdə öz gücünüzü sınayın — bəlkə də proses sizi onun yaradılış hekayəsi qədər cəlb edəcək.

Tower of Hanoi — bir oyunçu üçün nəzərdə tutulmuş məntiqi stolüstü tapmacadır (və ya sürətə görə iki nəfər arasında yarış kimi). Klassik dəst üç şaquli dirəklə təchiz olunmuş bazadan və müxtəlif diametrli disk dəstindən ibarətdir (müasir versiyalarda adətən 5-dən 8-ə qədər). Oyunun əvvəlində bütün disklər sol dirəyin üzərində yerləşdirilir və hər bir böyük diskin kiçik diskin altında olduğu piramida əmələ gətirir.

Oyunun məqsədi — bütün piramidanı başqa bir dirəyə (çox vaxt sağ kənardakına) minimum gedişlə köçürməkdir. Oyun vaxtla məhdudlaşmır: müddət disklərin sayından və oyunçunun təcrübəsindən asılıdır. Məsələn, üç disklik tapmaca bir neçə dəqiqəyə həll olunur, səkkiz diski köçürmək isə on beş dəqiqəyə qədər diqqətli iş tələb edə bilər. Tower of Hanoi məntiqi təfəkkürü, diqqəti və səbr qabiliyyətini inkişaf etdirir, buna görə uşaqlar və böyüklər tərəfindən eyni dərəcədə sevilir.

İlk baxışda Tower of Hanoi sadə görünür, lakin onun zahiri sadəliyinin arxasında ciddi məntiq dayanır. Piranidanı qaydalara uyğun köçürməklə oyunçu rekursiya prinsipini təcrübədə öyrənir: böyük məqsəd ardıcıl kiçik addımlara bölündükdə əlçatan olur. Bu quruluş hərəkətləri planlaşdırmaq və diqqəti toplamaq bacarığını inkişaf etdirir, oyunun sonuna çatmaq isə düzgün qurulmuş həll yolundan xüsusi məmnunluq gətirir.

Tower of Hanoi qaydaları: necə oynamaq olar

Oyunun məqsədi

Oyunçunun vəzifəsi bütün qülləni — disk yığınını — başlanğıc dirəyindən digərinə köçürməkdir. Bu zaman ilkin ardıcıllıq qorunmalıdır: hədəf dirəyində disklər düzgün piramida təşkil etməli, hər böyük element kiçiyin altında olmalıdır. Başqa sözlə, nəticə yeni dayaq üzərində ilkin quruluşun tam təkrar olunmasıdır.

Avadanlıq

Oyun üçün üç şaquli dirəkdən ibarət baza istifadə olunur, onlar şərti olaraq A, B və C kimi işarələnir. Bundan əlavə, müxtəlif diametrli n disk dəsti lazımdır (n ≥ 3; klassik variantda — 8). Bütün disklərin ortasında deşik var və onlar dirəklər arasında sərbəst hərəkət etdirilə bilər. Oyunun əvvəlində onlar A dirəyinin üzərinə düzülür və piramida əmələ gətirir: ən böyük disk aşağıda, üzərində isə getdikcə kiçilənlər yerləşir.

Gediş qaydaları

• Diskin köçürülməsi. Hər gedişdə seçilmiş dirəyin üstündəki diskin götürülüb digərinə qoyulması icazəlidir. Disk yalnız yığının ən yuxarısından götürülə bilər, aşağıdakı elementlər boşaldılmadan hərəkət etdirilə bilməz. Eyni anda bir neçə diski köçürmək qadağandır: oyun məhz ardıcıl addımlar üzərində qurulub, bütün quruluş tədricən yenidən yığılır.
• Ölçü məhdudiyyəti. Kiçik diskin üzərinə böyük disk qoymaq olmaz. Bu qayda piramidanın strukturunun saxlanmasını təmin edir: hər bir dirəkdə disklər yuxarıdan aşağıya ölçüyə görə artan ardıcıllıqla düzülməlidir — ən kiçikdən ən böyüyə. Disk yalnız boş dirəyə və ya daha böyük diametrli diskin üzərinə yerləşdirilə bilər. Bu şərti pozan hərəkət etibarsız sayılır.
• Hədəf dirəyi. Klassik variantda məqsəd bütün piramidanı sol A dirəyindən sağ C dirəyinə köçürməkdir, B isə köməkçi kimi istifadə olunur. Bu şərt istiqaməti müəyyənləşdirir və tapmacanı dəqiq edir. Lakin ümumi halda qüllə hər iki boş dirəyə köçürülə bilər: əgər əvvəlcədən hansı dirəyin hədəf olduğu göstərilməyibsə, nəticə eyni olacaq — əsas odur ki, piramida dəqiq yeni yerdə təkrar olunsun.

Oyunun gedişi

Oyunçu qaydalara uyğun ardıcıl gedişlər edir. İlk gedişdə həmişə ən kiçik disk götürülür — oyunun əvvəlində yalnız o sərbəstdir. Onu ya orta dirəyə, ya da sağ dirəyə qoymaq olar. Sonrakı gedişlər edilən seçimdən asılıdır. Oyun bütün piramida hədəf dirəyində yığılana qədər davam edir.

Oyunun sonu

Oyun bütün qüllə hədəf dirəyinə tam köçürüldükdə və ilkin ardıcıllıqla yığıldıqda həll olunmuş hesab edilir: aşağıda ən böyük, yuxarıda isə ən kiçik disk olmalıdır. Son quruluş ilkin piramidanın tam surəti olmalı, sadəcə yeni yerdə yerləşməlidir.

Minimal gediş sayı

Nəzəri cəhətdən sübut olunub ki, n disklik Tower of Hanoi tapmacasını həll etmək üçün optimal gediş sayı 2^n − 1-ə bərabərdir. Kiçik dəyərlər üçün bunu asan yoxlamaq olar: üç disk üçün — 7 gediş, dörd disk üçün — 15, beş disk üçün — 31. Məsələn, səkkiz disk üçün 255 gediş, on disk üçün isə artıq 1023 gediş lazımdır. Optimal strategiyadan hər hansı kənara çıxmaq gedişlərin sayını artırır, buna görə təcrübəli oyunçular minimal trayektoriyaya əməl etməyə çalışırlar.

Qaydaların variasiyaları

Klassik variant üç dirək və diskin istənilən digərinə sərbəst köçürülməsini nəzərdə tutur. Lakin tanınmış çətinləşdirmə və modifikasiyalar mövcuddur.

• Əlavə dirəklərlə. Dördüncü və ya beşinci dirəyin əlavə edilməsi yeni köçürmə alqoritmlərinin axtarışına gətirib çıxarır. Məlumdur ki, dörd dirək olduqda minimal gediş sayı üç dirəklidən daha azdır (bu versiya Reve’s Puzzle kimi tanınır). Belə ki, səkkiz diski 255 əvəzinə 129 gedişlə köçürmək olar. İstənilən sayda dirək üçün universal formula hələ yoxdur: istinad kimi 70 ildən çoxdur sübut olunmamış Frame-Stewart hipotezi istifadə olunur.
• Dairəvi qüllə. Bu versiyada dirəklər dairəvi şəkildə düzülür və diskləri yalnız bir istiqamətdə (məsələn, saat istiqamətində) köçürmək olar, aradakı dirəyi «atlamaq» qadağandır. Beləliklə, A dirəyindən disk yalnız B-yə, B-dən C-yə və s. köçürülə bilər. Bu məhdudiyyət strategiyanı xeyli çətinləşdirir və gedişlərin sayını artırır, baxmayaraq ki, rekursiv məntiq həllin əsasında qalır.
• Sehrli üçbucaq. Digər variantda üç dirək üçbucağın zirvələrində yerləşdirilir. Eyni qaydalar qüvvədədir (bir disk bir dəfə, böyük diski kiçiyin üzərinə qoymaq olmaz), lakin əlavə şərt var: ən kiçik disk yalnız saat istiqamətində, qalanları isə əks istiqamətdə hərəkət edə bilər. Bu versiya faktiki olaraq dairəvi qüllə ilə bağlıdır və Frank Gray-in ikili Gray kodundan istifadə ilə əlaqələndirilir: disklərin köçürülmə ardıcıllığı əlavə addımlar olmadan düzülmüş kodlarla üst-üstə düşür.

Variasiyalar — əlavə dirəklər, dairəvi yerləşmə və ya hərəkət istiqaməti məhdudiyyəti — müxtəlif olsa da, əsas ideya dəyişməz qalır. Bu, Lucas-ın ideyasının universallığını nümayiş etdirir: onu dəyişdirmək və çətinləşdirmək olar, amma əsas məntiq aydın və sabit qalır.

Tower of Hanoi üçün yeni başlayanlara məsləhətlər

Əsas qaydaları öyrəndikdən sonra Tower of Hanoi-ni müstəqil həll etməyi sınamaq istəyi yaranır. İlk addımların mənalı olması üçün sınanmış yanaşmalara əsaslanmaq faydalıdır. Aşağıda praktik məsləhətlər toplanıb — sadə taktikalardan tutmuş daha incə üsullara qədər, bunlar yayılmış səhvlərdən yayınmağa və bacarığı inkişaf etdirməyə kömək edir.

Tak tik yanaşmalar

Tak tik üsullar Tower of Hanoi həllini anlaşılan addımlar sisteminə çevirməyə imkan verir. Tapmaca mürəkkəb görünsə də, düzgün strategiya onu sadə ardıcıllığa çevirir. Aşağıda oyunu təşkil etməyə və optimal gedişlərə yaxınlaşmağa kömək edən əsas yanaşmalar göstərilir.

• «Böyük diski aç» alqoritmi. Tapmacanın açarı — ən böyük diskdir. Onu, üzərindəki digərləri götürülmədən hərəkət etdirmək mümkün deyil. Buna görə həll həmişə iki mərhələdən ibarətdir: əvvəlcə n − 1 kiçik disk götürülərək köməkçi dirəyə köçürülür, sonra ən böyük disk hədəfə yerləşdirilir və sonda n − 1 disk yenidən onun üzərində toplanır. Bu üsul rekursiv metodun əsasıdır: n disklik qülləni köçürmək üçün əvvəlcə n − 1 disklik qülləni həll etmək lazımdır. Əməldə bu, oyunçunun diqqətini hər mərhələdə ən böyük elementi boşaltmağa yönəltməlidir.
• Ən kiçik diskin rolu. Ən kiçik disk ən çox hərəkətlidir və oyunun ritmini müəyyən edir. Elə bir strategiya var ki, o hər ikinci gedişdə hərəkət etdirilir. Disklərin sayı tək olduqda ilk gediş həmişə hədəf dirəyinə (A → C), cüt olduqda isə köməkçi dirəyə (A → B) olur. Sonra kiçik disk dövrəvi şəkildə hərəkət edir: tək n üçün saat istiqamətində (A → C → B → A ...), cüt n üçün isə əks istiqamətdə (A → B → C → A ...). Bu müntəzəm sxem gedişlərin yarısını avtomatlaşdırır və prosesi proqnozlaşdırıla bilən edir.
• Yeganə mümkün gediş. Hər kiçik disk hərəkətindən sonra yalnız bir digər disk qaydaları pozmadan hərəkət etdirilə bilər. Bu o deməkdir ki, strategiya belə bir ardıcıllığa çevrilir: «kiçik disk → yeganə icazə verilən böyük disk → kiçik → yeganə böyük...». Bu alqoritm minimal gedişlərlə həlli təmin edir və hətta yeni başlayanları səhvlərdən qoruyur.

Yeni başlayanların səhvləri

Qaydaları bilsələr də, yeni başlayanlar tez-tez eyni səhvlərə yol verirlər. Bu səhvlər tapmacanı həllolunmaz etmir, amma gedişlərin sayını artırır və həllin səliqəsini pozur. Ən çox rast gəlinən səhvlərlə tanış olmaq, nədən çəkinməli olduğunuzu başa düşməyi asanlaşdırır.

• Plansız təsadüfi gedişlər. Tez-tez rast gəlinən səhv — diskləri xaotik hərəkət etdirməkdir. Bu üsul 3-4 disk üçün işləyə bilər, amma 5-6 diskdə dalana aparır. Daha rasional yanaşma — dərhal alqoritmə əməl etmək: böyük diski azad etmək, onu köçürmək və piramidanı bərpa etmək. Düşünülmüş strategiya artıq gedişlərin qarşısını alır və vaxtı qənaət edir.
• Ölçü qaydasını pozmaq. Yeni başlayanlar bəzən böyük diski kiçiyin üzərinə qoymağa çalışırlar. Real dəstdə bu fiziki cəhətdən mümkündür, amma qaydanı pozur və disklərin düzülüşünü səhv edir. Rəqəmsal versiyalarda belə addımlar adətən proqram tərəfindən bloklanır. Həmişə yoxlayın ki, disk ya boş dirəyə, ya da daha böyük diskə qoyulsun.
• Qülləni tam boşaltmaq cəhdi. Yeni başlayanlar bəzən bütün diskləri sərbəst dirəklərə yığmağa çalışırlar, düşünərək ki, sonra piramidanı hədəfə asanlıqla toplamaq olar. Oyun buna imkan vermir: dirəklərdən biri mütləq məşğul qalır və gedişləri bloklayır. Effektiv yol mərhələli köçürmədir: bir hissəni köməkçi dirəyə aparmaq, böyük diski köçürmək və sonra götürülən hissəni qaytarmaq.
• Tələskənlik və diqqətsizlik. Tower of Hanoi ölçülü oyundur. Tələsik gedişlər lazım olan addımları qaçırmağa və gedişlərin artmasına səbəb olur. İlk mərhələlərdə sabit temp saxlamaq, bütün dirəklərin vəziyyətini izləmək və hər addımın nəticəsini əvvəlcədən hesablamaq faydalıdır; beləliklə, minimal həll yoluna çatmaq asanlaşır.

Təcrübəli oyunçular üçün strategiyalar

Baza üsullar mənimsəndikdən və klassik qüllənin həlli çətinlik yaratmadıqda, daha mürəkkəb yanaşmalar sınamaq arzusu yaranır. Təcrübəli strategiyalar sadə oyunun arxasında dərin riyazi quruluşu görməyə imkan verir, rekursiya haqqında təsəvvürü genişləndirir və çox diskli və ya çətinləşdirilmiş variantlarla işləməyə imkan yaradır. Aşağıda strateji düşüncəni inkişaf etdirən və oyunu əsl intellektual sınağa çevirən üsullar göstərilir.

• Rekursiv düşüncə. Klassik qülləni 5-6 disk üçün mənimsədikdən sonra daha böyük n üçün rekursiv yanaşmanı şüurlu tətbiq etməyə çalışın. Tapmacanı mərhələlərə bölün: yuxarıdakı k diski köməkçi dirəyə aparın, (n − k)-cı diski hədəfə köçürün, sonra k diski onun üzərinə qaytarın. Optimal alqoritmdə həmişə k = n − 1 olur. Amma məşq üçün başqa variantları da sınamaq olar. Bu məşq 2^n − 1 qaydasının səbəbini başa düşməyə və hər əlavə diskin gediş sayını ikiqat artırıb bir əlavə etməsini görməyə kömək edir.
• İkili kod və qüllə. Tower of Hanoi gedişlərini ikili ədədlərin ardıcıllığı kimi təqdim etmək olar. Hər disk bir rəqəmə uyğundur, mövqeyi isə həmin rəqəmin dəyişməsinə. Burada Gray kodla əlaqə üzə çıxır: vəziyyətlər arasında keçiddə yalnız bir bit dəyişir, bu da bir diskin köçürülməsinə uyğundur. Bu müşahidə əl ilə oyunda az faydalıdır, amma tapmacanı 0-dan 2^n − 1-ə qədər bütün ikili ədədlərin ardıcıllıqla keçilməsi kimi görməyə imkan verir. Maraq üçün alqoritmi proqramda tətbiq edin: bu rekursiya və strateji təfəkkürü gücləndirəcək.
• «Kor-koranə» həll. Digər faydalı məşq — Tower of Hanoi-ni fiziki dəst olmadan, yalnız gedişləri yazaraq həll etməkdir. Dirəkləri A, B və C adlandırın və gedişləri yazın: məsələn, n = 2 üçün A → B, A → C, B → C; n = 3 üçün isə A → C, A → B, C → B, A → C, B → A, B → C, A → C. Bu ardıcıllıqlarda rekursiv quruluş aydın görünür. Nümunəni başa düşmək tapmacanı zehində həll etməyə imkan verir, bu isə abstrakt düşüncəni inkişaf etdirir.
• Əlavə dirəklər. Əgər baza variant artıq çətinlik yaratmırsa, dörd dirəkli oyunda özünüzü sınayın. Burada minimal strategiya aydın deyil. Dörd dirək üçün dəqiq formula məlum deyil, bir sıra alqoritmlərin optimal olub-olmaması sübut olunmayıb. Bununla belə, məlumdur ki, 15 disk üçün dörd dirəkdə minimal həll 129 gediş tələb edir — üç dirəkdə isə bu, 32 767 olardı. Eksperiment edin: hansı dirəklərə ara yığınlarını köçürmək, hər mərhələdə neçə diski istifadə etmək. Bu yaradıcı yanaşmanı inkişaf etdirir və tapmacanın strateji prinsiplərini daha dərindən başa düşməyə kömək edir.

Tower of Hanoi-ni öyrənməyin ən yaxşı yolu — dəqiq strategiyaya əməl etməkdir. Əvvəlcə üç dirək üçün baza metodu mənimsəmək, sonra isə disklərin sayını artırmaq, vaxt məhdudiyyəti qoymaq və ya «kor-koranə» həll üsulunu sınamaq faydalıdır. Bu tapmaca yaxşıdır ki, həmişə yeni çətinlik səviyyəsi açır və oyunçunun inkişafına imkan yaradır.

Tower of Hanoi qaydalarını və əsas strategiyaları mənimsədikdən sonra praktika mərhələsinə keçmək olar. Oyun planlaşdırma və bir neçə addımı qabaqcadan hesablama bacarığını, diqqəti və səbr qabiliyyətini inkişaf etdirir. İlk cəhdlər uğurlu olmaya bilər, amma ardıcıllıq və diqqət mütləq uğur gətirəcək. Tower of Hanoi açıq şəkildə göstərir: ən çətin tapmacalar belə sadə addımlara bölünüb ardıcıl yerinə yetirildikdə həll olunur.

140 ildən çox əvvəl yaradılmış bu tapmaca bu gün də ilham mənbəyidir. Qülləni toplamağa cəhd etməklə siz məktəblilərdən tutmuş riyaziyyat professorlarına qədər bu oyunun həvəskarlarının uzun ənənəsinin bir hissəsinə çevrilirsiniz. Onun universallığı və dərinliyi Tower of Hanoi-ni zamanın fövqündə olan məşğuliyyətə çevirir, nəsilləri birləşdirir. Özünüzü sınamağa hazırsınızmı? Tower of Hanoi-ni indi onlayn oynayın — pulsuz və qeydiyyatsız!