Tower of Hanoi متاح على الإنترنت مجاناً

Tower of Hanoi — واحدة من أشهر الألغاز المنطقية في التاريخ، محاطة بأسطورة مشوقة وتراث ثقافي غني. على الرغم من بساطة بنيتها — ثلاثة أوتاد ومجموعة من الأقراص ذات أقطار مختلفة — تتميز هذه اللعبة بعمق المنطق وجاذبية الأسطورة المرتبطة بها. وقد ابتكرت في القرن التاسع عشر، وسرعان ما اكتسبت Tower of Hanoi شعبية بين محبي الألغاز والرياضيين في جميع أنحاء العالم.

إن تاريخها يستحق الاهتمام ليس فقط بسبب قواعدها الأنيقة، ولكن أيضًا بفضل التأثير الذي تركته اللعبة على ثقافات البلدان المختلفة، والممارسات التعليمية وحتى الأبحاث العلمية. في هذه المقالة سنستعرض بالتفصيل أصل Tower of Hanoi، ونتتبع تطور شكلها ومعناها، ونسلط الضوء على بعض الحقائق غير المعروفة، ثم ننتقل إلى وصف القواعد والاستراتيجيات الخاصة باللعبة. في النهاية ستعرفون كيف أسرت هذه الأحجية عقول أجيال عديدة ولماذا لا تزال تُعتبر مثالاً على الرقي الفكري.

تاريخ Tower of Hanoi

الأصل والمؤلف

تم ابتكار لغز Tower of Hanoi في فرنسا عام 1883 وأصبح مشهورًا بسرعة بفضل الجمع غير المعتاد بين بساطة الشكل والفكرة الرياضية الأنيقة. مبتكرها هو عالم الرياضيات الفرنسي إدوار لوكاس (Édouard Lucas) — العالم الذي اشتهر بأبحاثه في نظرية الأعداد، وكذلك بتبسيط العلوم من خلال ما يسمى «رياضيات الترفيه».

ومع ذلك، فضل لوكاس أن يعرض اللعبة للجمهور ليس باسمه، بل تحت شخصية خيالية هي «الأستاذ ن. كلاوس من سيام» — شخصية غامضة يُفترض أنها جلبت اللغز القديم من تونكين (الجزء الشمالي من فيتنام الحالي). لقد أضفى هذا التضليل، الممزوج بإشارة إلى أصل غامض، هالة رومانسية على اللغز وجعل اللعبة جذابة بشكل خاص للجمهور الأوروبي في القرن التاسع عشر، الذي كان مفتونًا بالأساطير «الشرقية» والعجائب.

مع مرور الوقت، لاحظ الباحثون المدققون لعبة الكلمات الخفية. فقد تبين أن اسم N. Claus (de Siam) هو جناس من Lucas d’Amiens (لوكاس من أميان)، وأن «كلية Li-Sou-Stian» المذكورة في الوصف تتحول عند إعادة ترتيب الحروف إلى اسم المدرسة الحقيقية Saint Louis في باريس، حيث كان لوكاس يعمل مدرسًا. وهكذا تبين أن الأسطورة المصطنعة كانت لغزًا ذكيًا ترك فيه المؤلف توقيعه الخاص.

وكان أول من كشف علنًا عن هذا التضليل هو المروج الفرنسي للعلم غاستون تيساندير (Gaston Tissandier). ففي منشوراته أظهر أن شخصية «الماندرين الصيني» كانت تخفي لوكاس نفسه، كاشفًا بذلك الأصل الحقيقي للعبة. وقد عززت هذه القصة أكثر سمعة Tower of Hanoi كلغز ممتع وظاهرة ثقافية في الوقت ذاته، حيث يتشابك المنطق مع الرموز والتلميحات.

الإصدار الأول للعبة

في البداية ظهر اللغز في فرنسا تحت اسم La Tour d’Hanoï (أي «برج هانوي»)، وكان مصحوبًا بتعليمات مطبوعة تشرح بطريقة مبسطة أصله الأسطوري. كان الطقم يتكون من قاعدة خشبية مع ثلاثة أعمدة عمودية ومجموعة من ثمانية أقراص مثقوبة بأحجام مختلفة. وقد اختار إدوار لوكاس تحديدًا ثمانية أقراص: كان هذا العدد يبدو معقدًا بما يكفي لجعل اللعبة ممتعة، لكنه في الوقت نفسه قابل للحل.

وكان كل طقم مزودًا بكتيب صغير يروي أسطورة البرج المصنوع من الأقراص الذهبية. وقد أضفى هذا العنصر الأدبي على اللغز مسحة من الغموض وحوّله إلى ما هو أكثر من مجرد مسألة رياضية. وبفضل الجمع الناجح بين بساطة التصميم والأسطورة اللافتة، تميزت اللعبة على الفور بين وسائل الترفيه الأخرى وأثارت اهتمامًا كبيرًا لدى الجمهور.

وفي عامي 1884–1885 بدأت أوصاف ورسوم Tower of Hanoi بالظهور في المجلات الشعبية. فنشرت المجلة الفرنسية La Nature نسخة من أسطورة «برج براهما»، مقدمة اللغز الجديد كجزء من أسطورة شرقية. وفي العام نفسه نشرَت المجلة الأمريكية Popular Science Monthly مقالةً مرفقة بنقش يصور عملية حل المسألة. وقد لعبت هذه المنشورات دورًا مهمًا في انتشار اللعبة خارج فرنسا: فبفضل الصحافة عُرفت في أوروبا والولايات المتحدة، مما رسخ لـ Tower of Hanoi مكانة اللغز الكلاسيكي الجدير باهتمام العلماء والجمهور العام على حد سواء.

أسطورة برج براهما

كان العنصر الأساسي في نجاح اللغز هو الأسطورة التي ابتكرها لوكاس نفسه أو استلهمها من موضوعات قديمة. تدور القصة في معبد هندي للإله براهما (وأحيانًا في بعض الروايات — في دير)، حيث يقوم الرهبان أو الكهنة بعمل أبدي: نقل 64 قرصًا مثبّتة على ثلاثة أعمدة من الماس. ووفقًا للأسطورة، كانت هذه الأقراص مصنوعة من الذهب الخالص ووُضعت من قبل الإله نفسه في لحظة خلق العالم. وكانت مهمة الكهنة صارمة وثابتة — نقل قرص واحد فقط في كل مرة وعدم وضع قرص أكبر فوق قرص أصغر.

وحسب الأسطورة، عندما يتم نقل جميع الأقراص الـ64 من عمود إلى آخر، يجب أن ينتهي وجود العالم. وفي روايات مختلفة يتم تحديد مكان الأحداث إما في فيتنام، في مدينة هانوي، أو في الهند، في معبد في بنارس. ولهذا السبب تُعرف اللعبة أحيانًا باسم «برج هانوي» وأحيانًا باسم «برج براهما». وتذكر بعض الروايات أن الرهبان يقومون بحركة واحدة فقط في اليوم، بينما تشير أخرى إلى أن عملهم غير مقيد بالزمن.

لكن حتى لو افترضنا السيناريو الأسرع — حركة واحدة في كل ثانية — فلا داعي للقلق: إذ يتطلب إتمام المهمة 2^64 – 1 عملية نقل، أي ما يقارب 585 مليار سنة. وهذا العمر يفوق بعشرات المرات عمر الكون المعروف للعلم الحديث. وهكذا لم تمنح الأسطورة اللغز مسحة درامية فحسب، بل احتوت أيضًا على قدر من الدعابة الرفيعة: فقد أبرزت أن المسألة شديدة الصعوبة، وفي الوقت نفسه أتاحت للرياضيين ومحبي الألغاز «حساب نهاية العالم» ضمن إطار حكاية جميلة.

الانتشار والتطور

اكتسبت لعبة Tower of Hanoi بسرعة شعبية في أوروبا. وبحلول نهاية القرن التاسع عشر، كانت معروفة ليس فقط في فرنسا، بل أيضًا في إنجلترا وأمريكا الشمالية. في عام 1889 نشر إدوار لوكاس كتيبًا مستقلًا يصف اللغز، وبعد وفاته عام 1891 أُدرجت المسألة في المجلد الصادر بعد وفاته من عمله الشهير «Récréations mathématiques». وبفضل هذا الإصدار ترسخت Tower of Hanoi نهائيًا كجزء من التراث الكلاسيكي في الرياضيات الترفيهية.

في نفس الفترة تقريبًا بدأ اللغز ينتشر تحت أسماء مختلفة: «برج براهما»، «برج لوكاس» وغيرها، وذلك حسب البلد والناشر. فقد أصدرت شركات الألعاب في دول مختلفة نسخها الخاصة من اللعبة، حيث إن لوكاس لم يسجل براءة اختراع لاختراعه، وبالتالي كان من الممكن نسخ التصميم بحرية. في إنجلترا في أوائل القرن العشرين، على سبيل المثال، وُجدت إصدارات تحت اسم The Brahma Puzzle. وتوجد نسخ باقية من تلك الفترة، نُشرت في لندن بواسطة شركة R. Journet حوالي 1910–1920، وكانت صناديقها تحمل نص الأسطورة عن الكهنة والأقراص الذهبية الـ64.

وفي الولايات المتحدة، دخلت Tower of Hanoi في مجموعة «الألعاب العلمية» الشهيرة وسرعان ما وجدت مكانها إلى جانب وسائل الترفيه المنطقية الأخرى. إن بساطة البنية — ثلاثة أوتاد ومجموعة من الأقراص — جعلت اللعبة سهلة التصنيع، في حين أن تنوع الأساطير جعلها أكثر جاذبية. وخلال العقود الأولى من القرن العشرين، انتشرت اللعبة بآلاف النسخ وأصبحت في مصاف كلاسيكيات مثل لغز 15، ولاحقًا مكعب روبيك (مع أن Tower of Hanoi ظهرت قبل المكعب بفترة طويلة).

ثبات القواعد والأهمية العلمية

منذ ظهور Tower of Hanoi لم تتغير قواعدها تقريبًا. المبدأ الأساسي — نقل الأقراص واحدًا تلو الآخر وعدم وضع قرص أكبر فوق قرص أصغر — ظل كما صاغه إدوار لوكاس عام 1883. إن ثبات القواعد يشير إلى كمال التصميم الأصلي.

ومع مرور الوقت تغير معنى اللعبة: فلم تعد مجرد وسيلة ترفيه أنيقة، بل أصبحت أداة في مجالات مختلفة من المعرفة. فقد لاحظ الرياضيون نمطًا في الحد الأدنى لعدد النقلات: 1، 3، 7، 15، 31 وهكذا. واتضح أن هذا التسلسل مرتبط بالعلاقات ذات الحدين وبالنظام الثنائي، وأن بنية المسألة نفسها أوضحت بشكل ملموس الصلة بين الألعاب المنطقية والأسس النظرية للرياضيات.

وفي علم الحاسوب أصبحت Tower of Hanoi مثالًا كلاسيكيًا على العودية — الأسلوب الذي تُقسَّم فيه المسألة إلى عدة مسائل فرعية مشابهة أصغر حجمًا. وفي النصف الثاني من القرن العشرين أُدرج اللغز في المقررات الدراسية لبرمجة الحاسوب: حيث كان الطلاب يتعلمون من خلاله كتابة خوارزميات عودية ورؤية كيف يؤدي التقسيم الأنيق لمسألة معقدة إلى حل بسيط وفعّال.

ومع مرور الوقت استُخدمت اللعبة أيضًا في علم النفس. فـ«اختبار Tower of Hanoi» يُطبّق لتقييم القدرات المعرفية لدى الإنسان، مثل مهارة التخطيط وحفظ تسلسل الخطوات. وتُستخدم مثل هذه المهام في تشخيص آثار إصابات الدماغ، وفي دراسة الاضطرابات الإدراكية المرتبطة بالتقدم في السن، وكذلك في أبحاث وظائف الفصوص الجبهية للدماغ.

وبالتالي تجاوزت Tower of Hanoi منذ زمن بعيد حدود لعبة صالون من القرن التاسع عشر. فهي اليوم تُعتبر أداة شاملة — تعليمية وعلمية وتشخيصية. إن شكلها البسيط المكوَّن من ثلاثة أعمدة ومجموعة أقراص شكّل أساسًا لعدد من الدراسات، بينما احتفظت اللعبة بجاذبيتها لمحبي الألغاز المنطقية والمتخصصين في الرياضيات وعلوم الحاسوب وعلم النفس على حد سواء.

جغرافيا الشعبية

يشير اسم Tower of Hanoi مباشرة إلى عاصمة فيتنام — مدينة هانوي، على الرغم من أن اللغز نفسه لا يملك جذورًا شرقية حقيقية، فقد تم ابتكاره بالكامل في فرنسا في أواخر القرن التاسع عشر. ومع ذلك، كان الطابع الغامض للأسطورة ناجحًا للغاية: فقد منح اللعبة مسحة من الغموض وساهم في انتشارها الواسع. ولهذا السبب ترسخت في بلدان مختلفة تحت اسم مرتبط بهانوي: في العالم الناطق بالإنجليزية — Tower of Hanoi، في فرنسا — Tour d’Hanoï، في ألمانيا — Türme von Hanoi وهكذا.

وفي الاتحاد السوفيتي أصبح اللغز معروفًا في وقت لا يتجاوز ستينيات القرن العشرين: فقد أُدرج في مجموعات من المسائل المسلية وكتب الرياضيات الترفيهية. بالنسبة لعدة أجيال من التلاميذ أصبحت Tower of Hanoi كلاسيكية مألوفة، ولاحقًا حصلت على نسخ رقمية.

ومن المثير للاهتمام أنه في فيتنام، رغم عدم وجود أي دليل تاريخي على وجود لغز قديم مشابه، انتشرت اللعبة هناك أيضًا وأصبحت معروفة مترجمة. وهكذا عادت إلى البلد الذي استُخدم اسمه في الأسطورة، ولكن هذه المرة كاختراع أوروبي.

إن جغرافيا شعبية Tower of Hanoi اليوم تشمل العالم بأسره. يمكن العثور عليها في رياض الأطفال، حيث يتدرب الأطفال على نقل الحلقات البلاستيكية الملونة، وكذلك في قاعات الجامعات، حيث يقوم طلاب علوم الحاسوب ببرمجة حل المسألة كمثال على الخوارزمية العودية. إن بساطة التصنيع — بضعة ألواح خشبية ومجموعة من الأقراص — وعالمية القواعد جعلا من هذا اللغز تراثًا عالميًا بحق، معروفًا وجذابًا في كل ثقافة.

إن تاريخ Tower of Hanoi غني بالتفاصيل، لكن لا تقل إثارةً الحكايات والطرائف النادرة التي رافقت مسيرتها وأعطتها طابعًا خاصًا.

حقائق مثيرة عن Tower of Hanoi

• رقم قياسي في عدد الأقراص. في المتاحف والمجموعات الخاصة توجد نسخ عملاقة من Tower of Hanoi بثلاثين قرصًا أو أكثر. إن الحد الأدنى لعدد النقلات في مثل هذه المسألة يتجاوز المليار، وبالتالي من المستحيل تقريبًا حلها يدويًا. وقد أُنشئت مثل هذه الأطقم ليس من أجل اللعب، بل كقطع عرض مدهشة تبرز التعقيد اللامتناهي والعمق الرياضي لهذا اللغز.
• البرج في الثقافة الشعبية. ظهرت Tower of Hanoi عدة مرات في الأدب والسينما والمسلسلات. ففي القصة الخيالية الشهيرة للكاتب الأمريكي إريك فرانك راسل (Eric Frank Russell) «Now Inhale» (1959) يختار البطل، وهو ينتظر إعدامه من قبل كائنات فضائية، لعب Tower of Hanoi كـ«أمنيته الأخيرة». يفعل ذلك عن وعي، وهو يعرف عن اللانهاية الأسطورية للمسألة. ولإضفاء طابع تنافسي، يحوّل الفضائيون اللغز إلى مبارزة: يقوم لاعبان بتحريك الأقراص بالتناوب، والفائز هو من يقوم بالحركة الأخيرة. وباختيار برج من 64 قرصًا، ضمن البطل عمليًا تأجيلًا لا نهائيًا. وفي السينما الحديثة تظهر اللعبة أيضًا. ففي فيلم «Rise of the Planet of the Apes» (2011) استُخدمت Tower of Hanoi كاختبار للذكاء لدى القرود المعدلة وراثيًا: حيث قامت إحداها ببناء برج من أربع حلقات في عشرين حركة. ورغم أن هذا العدد أكبر من الحد الأدنى الممكن (الحل الأمثل كان 15 نقلة)، فإن المشهد أبرز القدرات الذهنية للحيوانات وأوضح بصريًا صعوبة المهمة. كما تناول المسلسل البريطاني الكلاسيكي «Doctor Who» هذا اللغز. ففي حلقة «The Celestial Toymaker» (1966) طُلب من الدكتور حل Tower of Hanoi بعشرة أقراص. وكانت شروط الاختبار صارمة للغاية: عليه أن يقوم بـ1023 نقلة بالضبط — لا أكثر ولا أقل. ولم يكن هذا الرقم عشوائيًا: 1023 هو الحد الأدنى الممكن لعدد النقلات في مسألة بعشرة أقراص. وهكذا كان على البطل أن يكمل المسار بأكمله دون أي خطأ، مما أكد مجددًا سمعة Tower of Hanoi كاختبار يكاد يكون مستحيلاً حتى على عبقري مسافر عبر الزمن.
• الحضور في ألعاب الفيديو. من اللافت أن Tower of Hanoi أصبحت بمثابة «المقياس النموذجي للألغاز» وتسللت إلى عالم ألعاب الفيديو. فاستوديو BioWare الكندي معروف بأنه يدرج لعبة مصغرة مبنية على Tower of Hanoi في العديد من مشاريعه. على سبيل المثال، في لعبة الأدوار Jade Empire هناك مهمة تتطلب نقل الحلقات على الأعمدة، وتظهر ألغاز مشابهة في السلاسل الشهيرة Star Wars: Knights of the Old Republic وMass Effect وDragon Age: Inquisition. وغالبًا ما تُقدَّم هذه الحلقات كمحركات قديمة أو اختبارات تتطلب من البطل الذكاء. كما يظهر اللغز في مغامرات كلاسيكية مثل لعبة The Legend of Kyrandia: Hand of Fate حيث يُخفي أحد الآليات الغامضة Tower of Hanoi متنكّرًا في طقس سحري. مثل هذه الظهور المتكرر يعزز صورة Tower of Hanoi كرمز عالمي للغز منطقي.
• البعد التعليمي. إلى جانب الأساطير والترفيه، تركت Tower of Hanoi بصمة في العلوم أيضًا. ففي عام 2013 نشر العلماء مؤلفًا بعنوان «The Tower of Hanoi: Myths and Maths» (Hinz وآخرون)، تناول بالتفصيل الخصائص الرياضية لهذا اللغز وتنوعاته. واتضح أن حوله نشأت نظرية كاملة لـ«رسوم Tower of Hanoi البيانية» المرتبطة بكسورية سيربينسكي وفروع أخرى من الرياضيات. وفي علم النفس المعرفي يوجد اختبار «Tower of Hanoi» الذي يُستخدم لفحص الوظائف التنفيذية للدماغ — القدرة على التخطيط واتباع قواعد معقدة. وفي الطب يُستخدم هذا الاختبار لتقييم مستوى تعافي المرضى بعد إصابات الدماغ: فالقدرة على حل اللغز تُعد مؤشرًا على عمل الفصوص الجبهية وتكوين وصلات عصبية جديدة. وهكذا تحولت اللعبة، التي كانت تُباع يومًا كلعبة ممتعة، إلى موضوع بحث جاد وحتى أداة للمساعدة في إعادة التأهيل.

إن تاريخ Tower of Hanoi مثال بارز على كيفية تحول فكرة رياضية أنيقة إلى ظاهرة ثقافية. فقد وُلد هذا اللغز عند تقاطع الترفيه والعلم، وارتبط بالأساطير والرموز، لكنه لم يفقد جاذبيته الأساسية — جماله المنطقي الخالص. من صالونات باريس في أواخر القرن التاسع عشر إلى قاعات الدراسة والتطبيقات الرقمية الحديثة، تواصل Tower of Hanoi الحفاظ على مكانتها ككلاسيكية فكرية. فهي تجعل المرء يفكر في قوة التفكير العودي، وتعلم الصبر والتخطيط الدقيق. ومن خلال الاطلاع على تاريخها، يشعر المرء باحترام لهذه «البرج الصغير من الأقراص» — رمز البحث اللامتناهي عن الحلول.

هل ترغب أن تشعر بنفسك كاهنًا يحمل مصير العالم في يديه، أم مجرد اختبار قدراتك المنطقية؟ في الجزء الثاني سنشرح كيف تُلعب Tower of Hanoi، وسنستعرض القواعد بالتفصيل ونشارك نصائح لحل هذا اللغز الأسطوري. فلتكن معرفتك بالتاريخ مصدر إلهام لك أثناء إتقان اللعبة — حيث ينتظرك تحدٍ عقلي ممتع.

لقد حازت هذه الأحجية شهرة عالمية ليس فقط بفضل الأسطورة، ولكن أيضًا بسبب آليتها الجذابة. وسنصف لاحقًا كيفية لعب Tower of Hanoi، وسنكشف بعض الحيل التكتيكية. جرّب حل هذه المسألة — فربما تجد أن عملية الحل لا تقل إثارة عن قصة نشأتها.

Tower of Hanoi — لغز منطقي على شكل لعبة طاولة للاعب واحد (أو بشكل تنافسي لاثنين إذا تم الحل بالسرعة). يتكون الطقم الكلاسيكي من قاعدة بثلاثة أعمدة عمودية ومجموعة من الأقراص ذات أقطار مختلفة (عادةً من 5 إلى 8 في الإصدارات الحديثة). في البداية توضع جميع الأقراص على العمود الأيسر، مكوِّنة هرماً حيث يكون كل قرص أكبر تحت القرص الأصغر منه.

هدف اللعبة — نقل الهرم بأكمله إلى عمود آخر (وغالبًا ما يُذكر أنه العمود الأيمن) بأقل عدد ممكن من النقلات. لا يوجد حد زمني للجولة: مدتها تعتمد على عدد الأقراص وخبرة اللاعب. فمثلًا، تُحل مهمة بثلاثة أقراص في بضع دقائق، بينما قد يستغرق نقل ثمانية أقراص حتى خمس عشرة دقيقة من العمل المركّز. Tower of Hanoi تنمّي التفكير المنطقي، الانتباه والصبر، ولذلك فهي محبوبة بالتساوي من الأطفال والبالغين.

للوهلة الأولى تبدو Tower of Hanoi مهمة بسيطة، لكن وراء بساطتها الظاهرية تختبئ منطقية صارمة. من خلال نقل الهرم وفق القواعد يتعلم اللاعب عمليًا مبدأ العودية: يصبح الهدف الكبير قابلًا للتحقيق إذا قُسم إلى سلسلة من خطوات أصغر. مثل هذا البناء يطوّر القدرة على التخطيط والتركيز، وإتمام الجولة يمنح شعورًا خاصًا بالرضا عن الحل المنظم بوضوح.

قواعد Tower of Hanoi: كيف تُلعب

هدف اللعبة

مهمة اللاعب هي نقل البرج بالكامل — كومة الأقراص — من العمود الأصلي إلى آخر. مع ضرورة الحفاظ على الترتيب الأصلي: على العمود الهدف يجب أن تشكل الأقراص هرماً صحيحاً، حيث يكون كل عنصر أكبر أسفل الأصغر منه. بمعنى آخر، يجب أن يعيد الناتج بناء الهيكل الأصلي بالكامل، لكن على قاعدة جديدة.

المعدات

تُستخدم في اللعبة قاعدة بثلاثة أعمدة عمودية، يُرمز إليها عادةً بـ A وB وC. كما يُستخدم طقم من n أقراص ذات أقطار مختلفة (n ≥ 3؛ في النسخة الكلاسيكية — 8). كل الأقراص تحتوي على فتحات ويمكن نقلها بحرية بين الأعمدة. في بداية الجولة تُرص جميعها على العمود A لتشكل هرماً: القرص الأكبر في الأسفل، وفوقه الأقراص الأصغر تدريجياً.

قواعد النقلات

• نقل قرص. كل نقلة تتكون من أخذ قرص واحد من أعلى العمود المختار ووضعه على عمود آخر. يؤخذ القرص دائماً من قمة الكومة، لذا تبقى الأقراص السفلية ثابتة حتى يتم تحريرها. يُمنع نقل أكثر من قرص واحد في نفس الوقت: فاللعبة مبنية على الخطوات المتتابعة، حيث يُعاد تجميع الهيكل تدريجياً.
• قيد الحجم. لا يجوز وضع قرص أكبر فوق قرص أصغر. هذه القاعدة تضمن الحفاظ على هيكل الهرم: على كل عمود يجب أن تُرتب الأقراص من الأعلى إلى الأسفل بزيادة الحجم — من الأصغر إلى الأكبر. عند النقل يمكن وضع القرص إما على عمود فارغ أو على قرص بقطر أكبر، وبذلك يُحافظ على الترتيب الصحيح. أي محاولة لانتهاك هذا الشرط تجعل النقلة غير مقبولة.
• العمود الهدف. في النسخة الكلاسيكية الهدف هو نقل الهرم بالكامل من العمود الأيسر A إلى العمود الأيمن C، ويُستخدم العمود الأوسط B كعمود مساعد. هذا الشرط يحدد الاتجاه ويجعل المهمة واضحة. لكن بشكل عام يمكن نقل البرج إلى أي من العمودين الحرّين: إذا لم يُحدد في البداية أيهما الهدف، فستكون النتيجة متكافئة — المهم هو إعادة بناء الهرم بدقة في الموقع الجديد.

مجريات اللعب

يقوم اللاعب بتنفيذ النقلات تباعاً وفق القواعد. النقلة الأولى دائماً هي أخذ أصغر قرص — فهو الوحيد الحر في البداية. يمكن نقله إما إلى العمود الأوسط أو إلى العمود الأيمن. يتوقف التطور اللاحق على الاختيار المُتخذ. تستمر اللعبة حتى يُعاد تجميع الهرم بالكامل على العمود الهدف.

النهاية

تُعتبر اللعبة محلولة عندما يُنقل البرج كله إلى العمود الهدف ويُعاد ترتيبه كما في البداية: القرص الأكبر في الأسفل، والأصغر في الأعلى. يجب أن يتطابق البناء النهائي تماماً مع الهرم الأصلي، ولكن في موضع جديد.

العدد الأدنى من النقلات

أُثبت نظرياً أن العدد الأمثل من النقلات لحل Tower of Hanoi مع n من الأقراص يساوي 2^n − 1. بالنسبة للقيم الصغيرة يسهل التحقق: لثلاثة أقراص — 7 نقلات، لأربعة — 15، لخمسة — 31. على سبيل المثال، لثمانية أقراص يلزم 255 نقلة، ولعشرة — 1023. أي انحراف عن الاستراتيجية المثلى يزيد عدد النقلات، لذلك يسعى اللاعبون ذوو الخبرة إلى اتباع المسار الأدنى.

تنويعات القواعد

النسخة الكلاسيكية تفترض ثلاثة أعمدة ونقل حر للقرص إلى أي عمود آخر. لكن توجد تعقيدات وتعديلات معروفة.

• مع دعامات إضافية. إضافة عمود رابع أو خامس يؤدي إلى البحث عن خوارزميات جديدة للنقل. من المعروف أنه مع أربع دعامات يكون العدد الأدنى من النقلات أقل مما هو مع ثلاث (هذه النسخة تُعرف باسم Reve’s Puzzle). فمثلاً، يمكن نقل ثمانية أقراص بـ 129 نقلة بدلاً من 255. ولعدد أعمدة عشوائي لا توجد صيغة عامة حتى الآن: ويُستخدم كمرجع حدسية فريم–ستيوارت، التي ما زالت غير مثبتة منذ أكثر من سبعة عقود.
• البرج الدوري. في هذا الإصدار تُرتب الأعمدة على شكل دائرة، ويمكن نقل الأقراص في اتجاه واحد فقط (مثلاً مع عقارب الساعة)، دون «القفز» فوق عمود وسيط. وهكذا من العمود A يمكن نقل القرص فقط إلى العمود B، ومن B إلى C وهكذا. هذا القيد يزيد من صعوبة الاستراتيجية ويرفع عدد النقلات، رغم أن المنطق العودي يبقى أساس الحل.
• المثلث السحري. إصدار آخر حيث تُوضع الأعمدة الثلاثة على رؤوس مثلث. تسري نفس القواعد (قرص واحد في كل مرة، لا يوضع الكبير فوق الصغير)، لكن يُضاف شرط إضافي: أصغر قرص يتحرك فقط مع عقارب الساعة، بينما البقية — بعكس الاتجاه. هذا الإصدار قريب من البرج الدوري ومرتبط باستخدام شفرة غراي الثنائية (Frank Gray): تسلسل النقلات يطابق الشفرات المرتبة دون خطوات إضافية.

رغم الاختلافات في التنويعات — أعمدة إضافية، ترتيب دائري أو قيود على اتجاه الحركة — تبقى الفكرة الأساسية نفسها: بنية المهمة لا تتغير. هذا يُظهر بوضوح عالمية فكرة لوكاس: يمكن تعديلها وتعقيدها، لكن المنطق الأصلي يظل واضحاً وثابتاً.

نصائح للمبتدئين في Tower of Hanoi

بعد فهم القواعد الأساسية، يظهر بشكل طبيعي دافع لتجربة القوة في حل Tower of Hanoi بشكل مستقل. ولتكون الخطوات الأولى واعية، من المفيد الاعتماد على طرق مجرّبة. فيما يلي نصائح عملية — من تكتيكات بسيطة تسمح بسرعة بإتقان الطريقة الأساسية، إلى أساليب أدق تساعد على تجنب الأخطاء الشائعة وتطوير المهارة الشخصية.

مقاربات تكتيكية

التقنيات التكتيكية تسمح ببناء حل Tower of Hanoi في نظام مفهوم من الخطوات. حتى إذا بدت المهمة ضخمة، فإن الاستراتيجية الصحيحة تحولها إلى سلسلة من الأفعال البسيطة. فيما يلي أبرز المقاربات التي تساعد على تنظيم اللعب والاقتراب من العدد الأمثل من النقلات.

• خوارزمية «حرر القرص الكبير». العنصر الأساسي في اللغز هو أكبر قرص. لا يمكن نقله ما لم تتم إزالة جميع الأقراص فوقه. لذلك يبنى الحل دائماً في مرحلتين: أولاً يجب إزالة n − 1 من الأقراص الأصغر ونقلها مؤقتاً إلى العمود المساعد، ثم نقل القرص الأكبر إلى الهدف، وبعد ذلك إعادة تجميع الهرم من n − 1 قرص فوقه. هذه الطريقة هي أساس الأسلوب العودي: لنقل برج من n أقراص يجب أولاً حل نفس المسألة لـ n − 1. عملياً هذا يعني أن تركيز اللاعب في كل مرحلة يجب أن يكون على تحرير الطريق للعنصر الأكبر.
• دور أصغر قرص. أصغر قرص هو الأكثر حركة وفعلياً يحدد إيقاع الجولة. هناك استراتيجية يتحرك فيها كل نقلة ثانية، بالتناوب مع الأقراص الأخرى. عند عدد فردي من الأقراص، تكون النقلة الأولى دائماً نحو العمود الهدف (A → C)، وعند عدد زوجي — نحو العمود المساعد (A → B). بعد ذلك يتحرك القرص الصغير في دائرة: عند n فردي — مع عقارب الساعة (A → C → B → A ...)، عند n زوجي — بعكس عقارب الساعة (A → B → C → A ...). هذا النمط المنتظم يؤتمت نصف النقلات ويجعل العملية متوقعة.
• النقلة الوحيدة الممكنة. بعد كل تحريك للقرص الصغير يظهر دائماً نقلة محددة تالية: بين باقي الأقراص في تلك اللحظة يمكن نقل قرص واحد فقط دون خرق القواعد. هذا يعني أن الاستراتيجية تنحصر في التناوب: «قرص صغير → القرص الكبير الممكن الوحيد → صغير → الكبير الوحيد...». مثل هذا الخوارزم يضمن الحل بالعدد الأدنى من النقلات ويحمي حتى المبتدئين من الأخطاء.

أخطاء المبتدئين

حتى مع معرفة القواعد، كثيراً ما يرتكب المبتدئون الأخطاء نفسها. هذه الأخطاء لا تجعل المهمة غير قابلة للحل، لكنها تزيد بشكل ملحوظ عدد النقلات وتحرم الحل من البنية. بدراسة أكثر الهفوات شيوعاً يصبح أسهل فهم ما يجب تجنبه وكيفية بناء استراتيجية أكثر فعالية.

• نقلات عشوائية بلا خطة. خطأ شائع هو تحريك الأقراص عشوائياً من دون استراتيجية عامة. قد تنجح هذه الحركات عند 3–4 أقراص، لكن عند 5–6 هذا الأسلوب يؤدي إلى الدوران في حلقة. الأنسب اتباع الخوارزمية مباشرة: حرر القرص الكبير، انقله وأعد بناء الهرم. الاستراتيجية الواعية تمنع النقلات الزائدة وتوفر الوقت.
• مخالفة قاعدة الحجم. أحياناً يحاول المبتدئون وضع قرص أكبر فوق أصغر. في مجموعة فعلية هذا ممكن جسدياً، لكنه يخالف القواعد ويجعل ترتيب الأقراص غير صحيح. في الإصدارات الرقمية غالباً ما تُمنع مثل هذه الأفعال من قبل البرنامج. تحقق دائماً من أن القرص المنقول يُوضع إما على عمود فارغ أو على قرص أكبر حجماً.
• محاولة تفكيك البرج بالكامل. أحياناً يسعى المبتدئون إلى «تفريغ» جميع الأقراص على الدعامات الحرة، معتقدين أن تجميع الهرم لاحقاً على العمود الهدف سيكون أسهل. اللعبة لا تسمح بذلك: أحد الأعمدة سيبقى مشغولاً ويمنع النقلات. الطريق الفعال هو النقل التدريجي: انقل جزءاً من الأقراص إلى العمود الاحتياطي، حرر وانقل القرص الرئيسي (الكبير)، ثم أعد الجزء المنقول.
• التسرع وقلة الانتباه. Tower of Hanoi لعبة هادئة. النقلات المتسرعة تؤدي إلى تفويت خطوات ضرورية وزيادة عدد النقلات. خاصة في البداية من المفيد الحفاظ على وتيرة ثابتة، متابعة حالة الأعمدة الثلاثة وحساب عواقب كل نقلة مسبقاً؛ وبذلك يسهل الالتزام بالحل الأدنى.

استراتيجيات للمتقدمين

عندما تُتقن الأساليب الأساسية ويصبح حل البرج الكلاسيكي سهلاً، تظهر الرغبة في تجربة مقاربات أكثر تعقيداً. الاستراتيجيات المتقدمة تساعد على رؤية البنية الرياضية العميقة خلف اللعبة البسيطة، توسع الفهم لمبدأ العودية وتتيح التعامل مع مسائل بعدد أكبر من الأقراص أو في نسخ أكثر صعوبة. فيما يلي تقنيات تطوّر التفكير الاستراتيجي وتجعل اللعبة تحدياً فكرياً حقيقياً.

• التفكير العودي. بعد إتقان البرج الكلاسيكي مع 5–6 أقراص، جرّب عمداً تطبيق النهج العودي للأعداد الأكبر n. قسّم المسألة إلى مراحل: انقل الأقراص العلوية k إلى العمود المساعد، حرّك القرص (n − k) إلى الهدف، ثم أعد k الأقراص فوقه. في الخوارزمية المثلى دائماً k = n − 1، أي تتم إزالة جميع الأقراص عدا السفلي. لكن للتدريب يمكن تجربة خيارات أخرى، حتى لو كانت أقل فعالية. هذا التمرين يساعد عملياً على فهم لماذا العدد الأدنى من النقلات هو 2^n − 1، ولاحظ أن كل قرص إضافي يضاعف العدد ويزيد واحداً.
• الشفرة الثنائية والبرج. يمكن تمثيل نقلات Tower of Hanoi كسلسلة من الأعداد الثنائية. كل قرص يمثل منزلة، وموقعه — تغير تلك المنزلة. هنا يظهر الارتباط بشفرة غراي: عند الانتقال من حالة إلى أخرى يتغير بت واحد فقط، وهو ما يقابل نقل قرص واحد. هذه الملاحظة لا تساعد كثيراً عند اللعب اليدوي، لكنها تسمح برؤية المسألة كاستعراض متسلسل لكل الأعداد من 0 إلى 2^n − 1 في الشكل الثنائي. للمتعة حاول تنفيذ خوارزمية الحل في برنامج: هذا يعزز الفهم للعودية والتفكير الاستراتيجي.
• الحل «على العمياني». ممارسة مفيدة أخرى هي حل Tower of Hanoi من دون مجموعة فعلية، بتسجيل النقلات. سمِّ الأعمدة A وB وC وسجّل تسلسل النقلات: مثلاً، لـ n = 2 — A → B, A → C, B → C؛ لـ n = 3 — A → C, A → B, C → B, A → C, B → A, B → C, A → C. في هذه التسلسلات يظهر بوضوح البناء العودي. فهم النمط يسمح بحل المسألة ذهنياً، ما ينمّي التفكير التجريدي.
• أعمدة إضافية. إذا لم تعد النسخة الأساسية تمثل صعوبة، جرّب اللعب بأربع دعامات. هنا الاستراتيجية المثلى ليست واضحة. لأربع أعمدة لا توجد صيغة دقيقة، وأفضلية بعض الخوارزميات لم تثبت بعد. ومع ذلك من المعروف أنه لـ 15 قرصاً يتطلب الحل الأدنى بأربع أعمدة 129 نقلة — بينما بثلاثة سيكون 32,767. جرّب: على أي أعمدة تنقل الأكوام المؤقتة، وكم قرصاً تستخدم في كل مرحلة. هذا يطور النهج الإبداعي ويسمح بفهم أعمق للمبادئ الاستراتيجية للغز.

أفضل طريقة لتعلّم حل Tower of Hanoi هي اتباع استراتيجية واضحة. من المفيد أولاً إتقان الطريقة الأساسية لثلاثة أعمدة، ثم تدريجياً زيادة عدد الأقراص، إدخال قيود زمنية أو تجربة الحل «على العمياني». هذه الأحجية رائعة لأنها دائماً تكشف مستوى جديداً من الصعوبة وتسمح بالتطور أكثر، بغض النظر عن خبرة اللاعب.

بعد إتقان قواعد Tower of Hanoi والاستراتيجيات الأساسية، يمكن الانتقال إلى الممارسة. اللعبة تدرّب القدرة على التخطيط وحساب عدة خطوات مسبقاً، تنمّي الانتباه والصبر. قد لا تكون المحاولات الأولى ناجحة دائماً، لكن المثابرة والتركيز يضمنان النجاح. Tower of Hanoi تُظهر بوضوح: حتى أصعب المهام تصبح قابلة للحل إذا قُسمت إلى خطوات بسيطة ونُفذت بتتابع.

هذا اللغز، الذي أُنشئ منذ أكثر من 140 عاماً، ما زال يُلهم حتى اليوم. بمحاولة تركيب البرج تصبح جزءاً من تقليد طويل من عشاق هذه اللعبة — من تلاميذ المدارس إلى أساتذة الرياضيات. عالميته وعمقه يجعلان Tower of Hanoi نشاطاً يتجاوز الزمن ويوحّد الأجيال. هل أنتم مستعدون لاختبار أنفسكم؟ العبوا Tower of Hanoi عبر الإنترنت الآن — مجاناً وبدون تسجيل!