Tower of Hanoi online, libre

Ang Tower of Hanoi — isa sa mga pinakakilalang lohikal na palaisipan sa kasaysayan, napapalibutan ng isang kapanapanabik na alamat at mayamang pamana ng kultura. Sa kabila ng pagiging simple ng pagkakagawa nito — tatlong poste at isang set ng mga disk na may iba’t ibang diyametro — ang larong ito ay namumukod-tangi sa lalim ng lohika at sa atraksyon ng alamat na kaugnay nito. Nalikha noong ika-19 na siglo, mabilis na sumikat ang Tower of Hanoi sa mga mahilig sa palaisipan at mga matematisyan sa buong mundo.

Karapat-dapat ang kasaysayan nito ng atensyon hindi lamang dahil sa mga eleganteng patakaran nito, kundi pati na rin sa impluwensiyang naidulot ng laro sa iba’t ibang kultura, mga gawi sa edukasyon, at maging sa pananaliksik na pang-agham. Sa artikulong ito, detalyado nating tatalakayin ang pinagmulan ng Tower of Hanoi, susundan ang ebolusyon ng anyo at kahulugan nito, magbabahagi ng ilang hindi gaanong kilalang mga katotohanan, at pagkatapos ay lilipat sa paglalarawan ng mga tuntunin at estratehiya ng laro. Sa huli, malalaman ninyo kung bakit nabighani ang palaisipang ito sa mga isipan ng maraming henerasyon at kung bakit itinuturing pa rin itong huwaran ng intelektuwal na kasiningan.

Kasaysayan ng Tower of Hanoi

Pinagmulan at may-akda

Ang palaisipang Tower of Hanoi ay nilikha sa Pransiya noong 1883 at mabilis na nakilala dahil sa kakaibang kombinasyon ng payak na anyo at eleganteng ideya sa matematika. Ang may-akda nito ay ang Pranses na matematisyan na si Édouard Lucas — isang iskolar na sumikat sa kanyang mga pananaliksik sa teorya ng bilang at sa pagpapalaganap ng agham sa pamamagitan ng tinatawag na «recreational mathematics».

Gayunpaman, pinili ni Lucas na ipakilala ang laro sa publiko hindi gamit ang kanyang sariling pangalan, kundi sa pamamagitan ng kathang-isip na tauhang «Propesor N. Claus mula Siam» — isang misteryosong pigura na diumano’y nagdala ng sinaunang palaisipan mula Tonkin (ang hilagang bahagi ng kasalukuyang Vietnam). Ang mistipikasyong ito, na sinamahan ng pahiwatig ng kakaibang pinagmulan, ay nagbigay sa palaisipan ng isang romantikong aura at ginawa itong lalo pang kaakit-akit para sa mga Europeo noong ika-19 na siglo na nahuhumaling sa mga «Oriental» na alamat at pambihirang bagay.

Kalaunan, napansin ng mga mapanuring mananaliksik ang isang nakatagong laro ng mga salita. Lumabas na ang pangalang N. Claus (de Siam) ay isang anagram ng Lucas d’Amiens, at ang tinukoy na «kolehiyo Li-Sou-Stian» ay, kapag inayos muli ang mga titik, nagiging pangalan ng tunay na lycée Saint Louis sa Paris, kung saan nagturo si Lucas. Kaya’t ang maingat na nilikhang alamat ay naging isang matalinong bugtong kung saan iniwan mismo ng may-akda ang kanyang lagda.

Ang unang naglantad ng mistipikasyong ito sa publiko ay ang Pranses na tagapagpalaganap ng agham na si Gaston Tissandier. Sa kanyang mga publikasyon ipinakita niyang si Lucas mismo ang nakatago sa katauhan ng «Intsik na mandarin», na sa gayon ay nagbunyag ng tunay na pinagmulan ng laro. Ang kuwentong ito ay lalo pang nagpatibay sa reputasyon ng Tower of Hanoi hindi lamang bilang isang kaakit-akit na palaisipan kundi bilang isang kultural na penomenon kung saan ang lohika ay malapit na nakaugnay sa mga simbolo at alusyon.

Unang edisyon ng laro

Sa simula, lumabas ang palaisipan sa Pransiya sa pangalang La Tour d’Hanoï (isinasalin bilang «ang tore ng Hanoi») at may kasamang nakalimbag na instruksiyon na nagpapaliwanag sa alamat ng pinagmulan nito sa paraang madaling maunawaan. Kasama sa set ang isang kahoy na base na may tatlong patayong poste at walong disk na may butas, na magkakaiba ang laki. Ang pagpili ng eksaktong walong disk ay ginawa mismo ni Édouard Lucas: ang bilang na ito ay sapat na mahirap upang mapanatili ang interes ng laro ngunit nanatiling kayang lutasin.

Bawat kopya ng set ay may kasamang maliit na booklet na muling nagsasalaysay ng alamat tungkol sa tore na gawa sa mga gintong disk. Ang elementong artistikong ito ay nagbigay sa palaisipan ng kakaibang mistikong tono at ginawang higit pa sa isang problemang matematikal. Dahil sa matagumpay na kombinasyon ng payak na konstruksyon at matingkad na alamat, agad na namukod-tangi ang laro sa iba pang libangan at nagdulot ng buhay na interes sa publiko.

Noong 1884–1885, nagsimulang lumabas sa mga popular na magasin ang mga paglalarawan at ilustrasyon ng Tower of Hanoi. Ang publikasyong Pranses na La Nature ay naglathala ng isang bersyon ng alamat ng «Tore ni Brahma», na iniharap ang bagong palaisipan bilang bahagi ng isang silangang alamat. Sa parehong taon, naglabas ang Amerikanong magasin na Popular Science Monthly ng isang tala na may ukit na larawan ng proseso ng paglutas ng problema. Naging mahalaga ang papel ng mga publikasyong ito sa pagpapalaganap ng laro lampas sa Pransiya: dahil sa mga peryodiko, nakilala ito sa Europa at Estados Unidos, na nagpagtibay sa Tower of Hanoi bilang isang klasikong palaisipan na karapat-dapat pansinin ng mga siyentipiko at ng malawak na publiko.

Ang alamat ng Tore ni Brahma

Isang pangunahing elemento ng tagumpay ng palaisipan ay ang alamat, na inimbento mismo ni Lucas o marahil ay naudyok ng mga sinaunang salaysay. Sa kuwentong ito, ang aksyon ay inililipat sa isang templong Indiyano ng diyos na si Brahma (kung minsan sa mga salaysay — isang monasteryo), kung saan ang mga monghe o pari ay nagsasagawa ng walang hanggang gawain: inililipat ang 64 na disk na nakasalansan sa tatlong diamante na poste. Ayon sa alamat, ang mga disk na ito ay yari sa purong ginto at inilagay mismo ng diyos sa sandali ng paglikha ng mundo. Ang patakaran ay mahigpit at hindi mababago — isang disk lamang ang maaaring ilipat sa bawat pagkakataon at hindi maaaring ipatong ang mas malaki sa mas maliit.

Ayon sa alamat, kapag nailipat na lahat ang 64 na disk mula sa isang poste patungo sa isa pa, darating na ang wakas ng mundo. Sa iba’t ibang bersyon ng alamat, ang lokasyon ng pangyayari ay inilalagay minsan sa Vietnam, sa lungsod ng Hanoi, at kung minsan sa India, sa isang templo sa Benares. Dahil dito, lumilitaw ang laro bilang «ang tore ng Hanoi» at bilang «ang tore ni Brahma». Sa ilang mga salaysay sinasabing gumagawa lamang ng isang galaw bawat araw ang mga monghe, sa iba naman — walang limitasyon ang kanilang trabaho sa oras.

Gayunpaman, kahit na isipin ang pinakamabilis na senaryo — isang galaw bawat segundo — sinasabing hindi dapat mag-alala ang sangkatauhan: para matapos ang gawain ay kinakailangan ang 2^64 – 1 na mga paglipat, na mga 585 bilyong taon. Ang panahong ito ay ilang ulit na mas mahaba kaysa edad ng Uniberso na kilala ng modernong agham. Kaya’t hindi lamang nagbigay ang alamat ng dramatikong himig sa palaisipan kundi naglalaman din ng piraso ng masining na katatawanan: binibigyang-diin nito na ang gawain ay napakahirap, habang binibigyan din ng pagkakataon ang mga matematisyan at mahilig sa palaisipan na «kwentahin ang katapusan ng mundo» sa loob ng isang magandang kuwento.

Paglaganap at pag-unlad

Mabilis na sumikat ang Tower of Hanoi sa Europa. Pagsapit ng huling bahagi ng ika-19 na siglo, kilala na ito hindi lamang sa Pransiya kundi pati sa Inglatera at Hilagang Amerika. Noong 1889 naglabas si Édouard Lucas ng isang hiwalay na booklet na naglalarawan sa palaisipan, at matapos ang kanyang kamatayan noong 1891, isinama ang problema sa isang postumong tomo ng kanyang tanyag na akdang «Récréations mathématiques». Dahil sa edisyong ito, tuluyang nakilala ang Tower of Hanoi bilang bahagi ng klasikong pamana ng recreational mathematics.

Sa halos parehong panahon, nagsimulang lumaganap ang palaisipan sa iba’t ibang pangalan: «tore ni Brahma», «tore ni Lucas» at iba pa, depende sa bansa at sa naglimbag. Ang mga gumagawa ng laruan sa iba’t ibang estado ay naglabas ng sarili nilang bersyon ng set, dahil hindi kumuha ng patent si Lucas para sa imbensiyon, at malayang nakopya ang disenyo. Sa Inglatera noong simula ng ika-20 siglo, halimbawa, lumabas ang ilang edisyon sa pangalang The Brahma Puzzle. May mga kilalang kopyang inilabas sa London ng kumpanyang R. Journet bandang 1910–1920, na may nakaimprentang teksto ng alamat tungkol sa mga pari at sa 64 gintong disk sa kahon.

Sa Estados Unidos, isinama ang Tower of Hanoi sa koleksiyon ng mga tanyag na «scientific toys» at mabilis itong nakahanap ng lugar sa tabi ng iba pang kilalang lohikal na libangan. Ang pagiging simple ng disenyo — tatlong poste at isang set ng mga disk — ay madaling nakopya, at ang mga baryasyon ng alamat ay nagdagdag pa ng atraksyon. Sa unang mga dekada ng ika-20 siglo, kumalat ang palaisipan sa libu-libong kopya at nakapuwesto sa tabi ng mga klasikong gaya ng 15-puzzle at, kalaunan, ng Rubik’s Cube (bagaman siyempre, mas nauna ang Tower of Hanoi kaysa sa cube).

Hindi nagbago ang mga tuntunin at kahalagahan sa agham

Mula nang likhain ang Tower of Hanoi, halos hindi nagbago ang mga tuntunin nito. Ang pangunahing prinsipyo — ilipat ang mga disk nang paisa-isa at huwag kailanman ipatong ang mas malaki sa mas maliit — ay nanatiling eksaktong gaya ng binuo ni Édouard Lucas noong 1883. Ang hindi pagbabagong ito ay nagpapakita ng pagiging ganap ng orihinal na disenyo.

Gayunpaman, sa paglipas ng panahon, nagbago ang kahulugan ng laro: hindi na ito basta eleganteng libangan lamang at naging kasangkapan sa iba’t ibang larangan ng kaalaman. Napansin ng mga matematisyan ang batas ng pinakamaliit na bilang ng mga galaw: ang serye ng 1, 3, 7, 15, 31 at iba pa. Napatunayang kaugnay ito sa binomial na relasyon at sa binaryong sistema, at ipinakita ng mismong estruktura ng problema ang malinaw na ugnayan ng mga lohikal na laro at mga teoretikal na pundasyon ng matematika.

Sa agham ng kompyuter, naging klasikong halimbawa ang Tower of Hanoi ng recursion — isang pamamaraan kung saan hinahati ang problema sa ilang kahalintulad na sub-problema na mas maliit ang saklaw. Sa ikalawang kalahati ng ika-20 siglo, isinama ang palaisipan sa mga kurso ng programming: natututo ang mga estudyante kung paano sumulat ng recursive na algorithm at nakikita kung paano nagiging simple at elegante ang solusyon sa pamamagitan ng paghahati ng isang komplikadong problema sa mas maliliit na bahagi.

Sa kalaunan, ginamit din ang laro sa sikolohiya. Ang tinatawag na «Tower of Hanoi test» ay ginagamit para sukatin ang kakayahan ng tao sa kognisyon, partikular ang kakayahang magplano ng mga aksyon at alalahanin ang pagkakasunod-sunod ng mga hakbang. Ginagamit ang ganitong gawain sa pagsusuri ng mga epekto ng traumatic brain injury, sa pananaliksik ng age-related cognitive disorders, at sa pag-aaral ng paggana ng frontal lobes ng utak.

Bunga nito, lumampas ang Tower of Hanoi sa hangganan ng isang pang-salong libangan noong ika-19 na siglo. Sa kasalukuyan, itinuturing itong isang unibersal na kasangkapan — pang-edukasyon, pang-agham at pang-diagnostiko. Ang payak na anyo na may tatlong poste at isang set ng mga disk ay naging batayan ng maraming pananaliksik, at nananatiling kaakit-akit ang laro para sa mga mahilig sa lohikal na palaisipan at para sa mga propesyonal sa matematika, agham ng kompyuter at sikolohiya.

Heograpiya ng kasikatan

Direktang tumutukoy ang pangalang Tower of Hanoi sa kabisera ng Vietnam — ang lungsod ng Hanoi, kahit na walang tunay na pinagmulan sa Silangan ang palaisipan at ganap na nilikha sa Pransiya noong huling bahagi ng ika-19 na siglo. Gayunpaman, naging napakaepektibo ang kakaibang kulay ng alamat: nagbigay ito ng hiwaga at nagpalaganap sa laro. Kaya naman sa iba’t ibang bansa nakilala ito sa pangalang may kaugnayan sa Hanoi: sa mundo ng mga nagsasalita ng Ingles — Tower of Hanoi, sa Pransiya — Tour d’Hanoï, sa Alemanya — Türme von Hanoi, at iba pa.

Sa Unyong Sobyet, nakilala ang palaisipan nang di-lalampas sa dekada 1960: isinama ito sa mga koleksiyon ng mga nakakaaliw na problema at mga aklat tungkol sa recreational mathematics. Para sa ilang henerasyon ng mga mag-aaral, naging pamilyar na klasiko ang Tower of Hanoi, at kalaunan ay nagkaroon din ng computer adaptations.

Kahanga-hanga na sa Vietnam, bagama’t walang makasaysayang ebidensya ng katulad na sinaunang palaisipan, kumalat din ang laro at nakilala sa salin. Kaya’t bumalik ito sa bansang ginamit ang pangalan sa alamat, bilang isang imbensiyong Europeo.

Saklaw ngayon ng heograpiya ng kasikatan ng Tower of Hanoi ang buong mundo. Makikita ito sa mga kindergarten, kung saan nagsasanay ang mga bata sa paglilipat ng makukulay na plastik na singsing, at sa mga silid-aralan sa unibersidad, kung saan pinoprograma ng mga estudyante sa computer science ang solusyon bilang halimbawa ng recursive na algorithm. Ang pagiging madaling gawin — sapat na ang ilang kahoy na tabla at isang set ng mga disk — at ang unibersalidad ng mga tuntunin ang nagpaangat sa palaisipan bilang isang tunay na pandaigdigang pamana, kinikilala at kapana-panabik sa bawat kultura.

Ang kasaysayan ng Tower of Hanoi ay sagana sa mga detalye, ngunit kasing-interesante rin ang mga bihirang episode at salaysay na nagbigay rito ng kakaibang kulay.

Mga kawili-wiling katotohanan tungkol sa Tower of Hanoi

• Rekord sa bilang ng mga disk. Sa mga museo at pribadong koleksiyon, mayroong malalaking bersyon ng Tower of Hanoi na may tatlumpu o higit pang disk. Higit sa isang bilyon ang kinakailangang pinakamababang galaw para sa ganitong problema, kaya’t halos imposibleng lutasin ito nang manu-mano. Ginawa ang ganitong mga set hindi para laruin kundi bilang kahanga-hangang eksibit na nagpapakita ng walang hanggang kahirapan at matematikal na lalim ng palaisipan.
• Ang tore sa popular na kultura. Paulit-ulit na lumitaw ang Tower of Hanoi sa literatura, pelikula at mga serye sa telebisyon. Sa kilalang science fiction na kuwentong «Now Inhale» (1959) ng Amerikanong manunulat na si Eric Frank Russell, pinili ng pangunahing tauhan, na naghihintay ng kanyang kamatayan mula sa mga alien, ang Tower of Hanoi bilang kanyang «huling kahilingan». Ginawa niya ito nang may kaalaman, batid ang maalamat na walang katapusang katangian ng problema. Upang gawing mas paligsahan ang pangyayari, ginawa ng mga alien ang palaisipan bilang isang duwelo: dalawang manlalaro ang salitan sa paggawa ng galaw, at ang panalo ay mapupunta sa gagawa ng huling galaw. Sa pagpili ng tore na may 64 disk, halos tiniyak ng tauhan ang walang hangganang pagpapaliban. Lumitaw din ang laro sa modernong pelikula. Sa pelikulang «Rise of the Planet of the Apes» (2011), ginamit ang Tower of Hanoi bilang pagsusulit ng talino para sa mga genetically modified na unggoy: isa sa kanila ang bumuo ng tore ng apat na singsing sa dalawampung galaw. Kahit na higit ito kaysa sa pinakamababang posibleng bilang (labinlimang galaw ang pinakamainam), ipinapakita ng eksenang ito ang kakayahan ng mga hayop at biswal na inilalarawan ang kahirapan ng problema. Lumitaw din ang klasikong British na seryeng «Doctor Who». Sa episode na «The Celestial Toymaker» (1966), hiningi sa Doctor na lutasin ang Tower of Hanoi na may sampung disk. Ang kondisyon ay napakahigpit: kailangan niyang gumawa ng eksaktong 1023 na galaw — hindi higit, hindi kulang. Hindi aksidenteng pinili ang numerong ito: ang 1023 ay ang pinakamababang posibleng bilang ng galaw para sa problema na may sampung disk. Kaya’t kinailangan ng tauhan na tapusin ang buong proseso nang walang kahit isang pagkakamali, na muling nagpatibay sa reputasyon ng Tower of Hanoi bilang halos imposibleng hamon kahit para sa isang henyo na manlalakbay sa panahon.
• Presensya sa mga video game. Kapansin-pansin na naging isang uri ng «pamantayang palaisipan» ang Tower of Hanoi at nakapasok sa mundo ng mga video game. Kilala ang Canadian studio na BioWare sa pagsasama ng mini-game na batay sa Tower of Hanoi sa marami sa kanilang mga proyekto. Halimbawa, sa role-playing game na Jade Empire may isang misyon kung saan kailangang maglipat ng mga singsing sa pagitan ng mga poste, at lumilitaw din ang kahalintulad na mga palaisipan sa tanyag na mga serye gaya ng Star Wars: Knights of the Old Republic, Mass Effect, at Dragon Age: Inquisition. Madalas na ipinapakita ang mga eksenang ito bilang sinaunang mekanismo o pagsubok na nangangailangan ng talino mula sa tauhan. Lumilitaw din ang palaisipan sa mga klasikong quest, gaya ng sa laro na The Legend of Kyrandia: Hand of Fate, kung saan ang isa sa mga misteryosong mekanismo ay ang parehong Tower of Hanoi na itinago bilang ritwal na mahika. Pinatitibay ng ganitong mga cameo ang imahe ng Tower of Hanoi bilang isang unibersal na simbolo ng lohikal na problema.
• Aspetong pang-edukasyon. Bukod sa mga alamat at libangan, nag-iwan din ng bakas sa agham ang Tower of Hanoi. Noong 2013 naglathala ang mga siyentipiko ng monograpiyang «The Tower of Hanoi: Myths and Maths» (Hinz et al.), na detalyadong nagsusuri sa mga katangiang matematikal ng palaisipan at ng mga baryasyon nito. Lumabas na nakabuo ito ng isang buong teorya ng «Tower of Hanoi graphs», na kaugnay ng fractal na Sierpinski at iba pang sangay ng matematika. Sa cognitive psychology, umiiral ang «Tower of Hanoi test» na ginagamit upang suriin ang executive function ng utak — ang kakayahang magplano at sumunod sa komplikadong mga tuntunin. Sa medisina, ginagamit ang pagsusulit na ito upang tasahin ang antas ng paggaling ng mga pasyente matapos ang pinsala sa utak: ang kakayahang lutasin ang problema ay nagsisilbing pananda ng paggana ng frontal lobes at ng pagbuo ng mga bagong neural na koneksyon. Kaya’t ang larong minsang ibinebenta bilang isang nakakatuwang laruan ay naging paksa ng seryosong pananaliksik at maging katulong sa rehabilitasyon.

Ang kasaysayan ng Tower of Hanoi ay isang matingkad na halimbawa kung paano maaaring maging kultural na penomenon ang isang eleganteng ideya sa matematika. Ipinanganak ang palaisipan na ito sa pagtitipon ng libangan at agham, napalibutan ng mga alamat at simbolismo, ngunit hindi nawala ang pangunahing atraksyon nito — ang purong lohikal na kagandahan. Mula sa mga salon sa Paris noong huling bahagi ng ika-19 na siglo hanggang sa mga modernong silid-aralan at digital na aplikasyon, nananatiling intelektuwal na klasiko ang Tower of Hanoi. Pinapaisip nito ang lahat tungkol sa kapangyarihan ng recursive na pag-iisip, nagtuturo ng pasensya at maingat na pagpaplano. Sa pagkakakilala sa kasaysayan nito, mahirap hindi humanga sa maliit na tore ng mga disk — simbolo ng walang hanggang paghahanap ng solusyon.

Nais mo bang maramdaman ang sarili bilang isang pari na may hawak ng kapalaran ng mundo sa kanyang mga kamay, o simpleng subukan ang iyong lohikal na pag-iisip? Sa ikalawang bahagi, ipapaliwanag namin kung paano laruin ang Tower of Hanoi, detalyadong tatalakayin ang mga tuntunin at magbabahagi ng mga payo sa paglutas ng makasaysayang palaisipan. Nawa’y magbigay ng inspirasyon sa iyo ang pag-unawa sa kasaysayan habang natututo ng laro — isang kapanapanabik na intelektuwal na hamon ang naghihintay sa iyo.

Nakilala sa buong mundo ang palaisipan hindi lamang dahil sa alamat kundi dahil din sa nakakaaliw na mekanika nito. Sa susunod, detalyado naming ilalarawan kung paano laruin ang Tower of Hanoi at ilalantad ang ilang taktikal na pamamaraan. Subukan ang iyong kakayahan sa paglutas ng problemang ito — maaaring ang mismong proseso ay maging kasing-saya ng kasaysayan ng pagkakalikha nito.

Tower of Hanoi — isang lohikal na larong pamborda para sa isang manlalaro (o paligsahan para sa dalawa kung gagawin nang mabilisan). Ang klasikong set ay binubuo ng isang base na may tatlong patayong tungkod at isang hanay ng mga disk na may iba’t ibang diyametro (karaniwang mula 5 hanggang 8 sa mga makabagong bersyon). Sa simula, lahat ng disk ay inilalagay sa kaliwang tungkod, bumubuo ng isang piramide kung saan ang bawat mas malaking disk ay nasa ilalim ng mas maliit.

Layunin ng laro — mailipat ang buong piramide sa ibang tungkod (madalas na tinutukoy ang pinakakanang tungkod) gamit ang pinakamababang bilang ng galaw. Walang limitasyon sa oras ang laro: ang tagal nito ay nakadepende sa bilang ng disk at sa karanasan ng manlalaro. Halimbawa, ang hamon na may tatlong disk ay nalulutas sa ilang minuto, samantalang ang paglipat ng walong disk ay maaaring umabot ng hanggang labinlimang minuto ng tutok na paglalaro. Ang Tower of Hanoi ay nagpapalago ng lohikal na pag-iisip, atensyon at pasensya, kaya’t pantay na kinagigiliwan ng mga bata at matatanda.

Sa unang tingin, ang Tower of Hanoi ay tila isang payak na gawain, ngunit sa likod ng panlabas nitong kasimplehan ay nakatago ang mahigpit na lohika. Sa paglilipat ng piramide ayon sa mga tuntunin, natututuhan ng manlalaro sa aktuwal ang prinsipyong rekursibo: ang malaking layunin ay nagiging posible kapag hinati sa sunud-sunod na maliliit na hakbang. Ang ganitong istruktura ay nagpapalakas ng kakayahang magplano ng mga aksyon at magpokus, at ang pagtatapos ng laro ay nagbibigay ng natatanging kasiyahan mula sa maayos na pagkakabuo ng solusyon.

Mga tuntunin ng Tower of Hanoi: paano laruin

Layunin ng laro

Ang gawain ng manlalaro ay ilipat ang buong tore — ang tumpok ng mga disk — mula sa panimulang tungkod patungo sa iba pa. Kailangang mapanatili ang orihinal na kaayusan: sa tungkod na pupuntahan, ang mga disk ay dapat bumuo ng tamang piramide, kung saan ang bawat mas malaking elemento ay nasa ilalim ng mas maliit. Sa madaling salita, ang resulta ay dapat ganap na umulit sa panimulang estruktura, ngunit nasa bagong patungan.

Kagamitan

Gamit sa laro ang isang base na may tatlong patayong tungkod, na karaniwang tinutukoy bilang A, B at C. Dagdag pa rito, kailangan ang isang hanay ng n disk na may iba’t ibang diyametro (n ≥ 3; sa klasikong bersyon — 8). Lahat ng disk ay may butas at malayang naipapasa sa pagitan ng mga tungkod. Sa simula ng laro, sila ay nakasalansan sa tungkod A at bumubuo ng isang piramide: ang pinakamalaking disk sa ibaba, at sa itaas nito ay sunud-sunod na mas maliliit.

Mga patakaran ng galaw

• Paglipat ng disk. Bawat galaw ay binubuo ng pagtanggal ng pinakaibabaw na disk mula sa isang tungkod at paglalagay nito sa iba. Ang disk ay laging kinukuha lamang mula sa tuktok ng tumpok, kaya’t nananatiling hindi nagagalaw ang mga nasa ibaba hanggang sa sila ay lumaya. Ipinagbabawal ang sabay-sabay na paglipat ng higit sa isang disk: ang laro ay nakabatay mismo sa sunud-sunod na hakbang, kung saan unti-unting muling nabubuo ang estruktura.
• Limitasyon sa laki. Hindi maaaring ilagay ang mas malaking disk sa ibabaw ng mas maliit. Ang patakarang ito ang nagsisiguro sa pagpapanatili ng estruktura ng piramide: sa bawat tungkod, ang mga disk ay dapat nakaayos mula sa itaas pababa ayon sa laki — mula sa pinakamaliit hanggang sa pinakamalaki. Sa paglilipat, maaaring ilagay ang isang disk alinman sa bakanteng tungkod o sa ibabaw ng disk na mas malaki ang diyametro, upang mapanatili ang tamang kaayusan. Ang anumang pagtatangka na labagin ito ay ginagawang di-wasto ang galaw.
• Tungkod na pupuntahan. Sa klasikong bersyon, ang layunin ay ilipat ang buong piramide mula sa kaliwang tungkod A patungo sa kanang tungkod C, habang ang gitnang tungkod B ay ginagamit bilang pantulong. Ang kondisyong ito ay nagbibigay direksyon at ginagawang malinaw ang gawain. Gayunpaman, sa pangkalahatan, maaaring ilipat ang tore sa alinman sa dalawang malalayang tungkod: kung hindi tinukoy sa simula kung alin ang target, magiging kapareho ang resulta — ang mahalaga ay ang eksaktong pagkakauulit ng piramide sa bagong lugar.

Takbo ng laro

Ang manlalaro ay gumagawa ng mga galaw nang sunud-sunod ayon sa mga tuntunin. Ang unang galaw ay palaging may kinalaman sa pinakamaliit na disk — ito lamang ang malaya sa simula. Maaari itong ilipat alinman sa gitna o sa kanang tungkod. Ang susunod na takbo ay nakadepende sa napiling opsyon. Ang laro ay nagpapatuloy hanggang sa ang buong piramide ay mabuo sa tungkod na pupuntahan.

Wakas

Ang laro ay itinuturing na nalutas kapag ang buong tore ay nailipat sa tungkod na pupuntahan at muling nabuo sa orihinal na kaayusan: ang pinakamalaking disk sa ibaba at ang pinakamaliit sa itaas. Ang pinal na estruktura ay dapat ganap na tumutugma sa panimulang piramide, ngunit nasa bagong lokasyon.

Pinakamababang bilang ng galaw

Napatunayang teoretikal na ang pinakamainam na bilang ng galaw upang malutas ang Tower of Hanoi na may n disk ay 2^n − 1. Para sa maliliit na halaga, madaling patunayan ito: para sa tatlong disk — 7 galaw, para sa apat — 15, para sa lima — 31. Halimbawa, para sa walong disk kailangan ng 255 galaw, at para sa sampu — 1023 na. Anumang paglihis mula sa pinakamainam na estratehiya ay nagpapataas ng bilang ng galaw, kaya’t ang mga bihasang manlalaro ay nagsisikap sumunod sa pinakamababang landas.

Mga baryasyon ng tuntunin

Ang klasikong bersyon ay may tatlong tungkod at malayang paglipat ng disk sa alinman sa iba. Gayunpaman, may mga kinikilalang komplikasyon at modipikasyon.

• May dagdag na tungkod. Ang pagdagdag ng ikaapat o ikalimang tungkod ay nagdadala sa paghahanap ng mga bagong algoritmo. Kilala na kapag may apat na tungkod, mas mababa ang pinakamababang bilang ng galaw kaysa sa tatlo (ang bersyong ito ay kilala bilang Reve’s Puzzle). Halimbawa, walong disk ay maaaring mailipat sa 129 galaw imbes na 255. Para sa di-matukoy na bilang ng tungkod, wala pang unibersal na pormula: ginagamit ang hinuha ng Frame-Stewart bilang batayan, na nananatiling hindi napatutunayan nang higit pitong dekada.
• Siklong tore. Sa bersyong ito, ang mga tungkod ay nakaayos na paikot at maaaring ilipat ang mga disk sa isang direksyon lamang (halimbawa, pakanan), nang hindi «tumatalon» sa katabing tungkod. Kaya mula sa tungkod A, maaaring ilipat ang disk lamang sa tungkod B, mula B papuntang C, at iba pa. Ang limitasyong ito ay lubos na nagpapahirap sa estratehiya at nagpaparami sa bilang ng galaw, bagama’t ang lohika ng rekursyon ay nananatiling batayan ng solusyon.
• Mahiwagang tatsulok. Isa pang baryasyon kung saan ang tatlong tungkod ay inilalagay sa mga sulok ng isang tatsulok. Pareho pa rin ang mga tuntunin (isang disk bawat galaw, hindi maaaring ilagay ang mas malaki sa mas maliit), ngunit may dagdag na kondisyon: ang pinakamaliit na disk ay gumagalaw lamang pakanan, at ang iba naman ay pakaliwa. Ang bersyong ito ay kahalintulad ng siklong tore at konektado sa paggamit ng binaryong Gray code (Frank Gray): ang pagkakasunod ng galaw ng mga disk ay tumutugma sa mga kodigo na nakaayos nang walang dagdag na hakbang.

Sa kabila ng pagkakaiba sa mga baryasyon — dagdag na tungkod, paikot na ayos, o limitasyon sa direksyon ng galaw — nananatiling pareho ang pangunahing ideya: hindi nagbabago ang estruktura ng problema. Malinaw na ipinapakita nito ang unibersalidad ng ideya ni Lucas: maaaring baguhin at gawing mas kumplikado, ngunit nananatiling malinaw at hindi nagbabago ang orihinal na lohika.

Mga payo para sa mga baguhang manlalaro ng Tower of Hanoi

Pagkatapos maunawaan ang mga pangunahing tuntunin, likas na lilitaw ang pagnanais na subukang lutasin ang Tower of Hanoi nang mag-isa. Para maging makabuluhan ang mga unang hakbang, kapaki-pakinabang na umasa sa napatunayang mga pamamaraan. Narito ang mga praktikal na payo — mula sa simpleng taktika na tumutulong madaling matutunan ang batayang paraan hanggang sa mas pinong teknik na tutulong umiwas sa karaniwang pagkakamali at malinang ang sariling kasanayan.

Mga taktikang lapit

Ang mga taktikang paraan ay nagpapahintulot na maisaayos ang solusyon ng Tower of Hanoi bilang malinaw na sistema ng mga hakbang. Kahit na tila malaki ang gawain, ang tamang estratehiya ay ginagawa itong sunud-sunod na simpleng galaw. Narito ang mga pangunahing lapit na makatutulong maisaayos ang laro at mapalapit sa pinakamababang bilang ng galaw.

• Algoritmong «palayain ang malaking disk». Ang pangunahing elemento ng palaisipan ay ang pinakamalaking disk. Hindi ito maaaring ilipat hangga’t hindi natatanggal ang lahat ng nasa ibabaw nito. Kaya’t laging nahahati sa dalawang yugto ang solusyon: una, alisin ang n − 1 mas maliliit na disk at pansamantalang ilagay sa pantulong na tungkod, pagkatapos ilipat ang pinakamalaking disk sa tungkod na pupuntahan, at saka buuin muli ang piramide ng n − 1 disk sa ibabaw nito. Ang teknik na ito ang batayan ng rekursibong paraan: upang mailipat ang tore na may n disk, dapat munang lutasin ang parehong gawain para sa n − 1 disk. Sa praktika, nangangahulugan ito na ang atensyon ng manlalaro sa bawat yugto ay dapat nakatuon sa pagpapalaya ng daan para sa pinakamalaking elemento.
• Papel ng pinakamaliit na disk. Ang pinakamaliit na disk ang pinakagalaw at, sa esensya, nagtatakda ng ritmo ng buong laro. May estratehiya kung saan ito ay gumagalaw sa bawat ikalawang hakbang, halinhinan sa iba pang mga disk. Kapag ang bilang ng disk ay kakaiba, ang unang galaw ay laging papunta sa tungkod na pupuntahan (A → C), kapag pantay — sa pantulong (A → B). Pagkatapos, ang maliit na disk ay gumagalaw paikot: kapag n ay kakaiba — pakanan (A → C → B → A ...), kapag pantay — pakaliwa (A → B → C → A ...). Ang regular na iskema na ito ay nag-aautomatisa sa kalahati ng mga galaw at ginagawang mahulaan ang proseso.
• Tanging posibleng galaw. Pagkatapos ng bawat paglipat ng maliit na disk, may eksaktong isang susunod na hakbang na maaaring gawin nang hindi lumalabag sa mga tuntunin. Nangangahulugan ito na ang estratehiya ay nababawasan sa halinhinan: «maliit na disk → tanging pinapahintulutang malaking disk → maliit → tanging malaking...». Ang algoritmong ito ay nagsisiguro ng solusyon sa pinakamababang bilang ng galaw at nagpoprotekta maging ang mga baguhan laban sa pagkakamali.

Mga pagkakamali ng baguhan

Kahit na alam ang mga tuntunin, madalas ulitin ng mga baguhan ang parehong pagkakamali. Hindi nito ginagawang imposibleng lutasin ang gawain, ngunit malaki ang idinadagdag sa bilang ng galaw at nawawala ang ganda ng solusyon. Sa pag-unawa sa mga karaniwang pagkakamali, mas madaling makita kung ano ang dapat iwasan at kung paano bumuo ng mas mabisa na estratehiya.

• Mga galaw na walang plano. Karaniwang pagkakamali ang basta-bastang paglilipat ng mga disk nang walang pangkalahatang estratehiya. Maaari itong gumana sa 3–4 disk, ngunit sa 5–6 ay hahantong ito sa pagkakabahala. Mas makatuwiran ang agad na sundan ang isang algoritmo: palayain ang malaking disk, ilipat ito, at muling buuin ang piramide. Ang maayos na estratehiya ay pumipigil sa mga labis na galaw at nakakatipid ng oras.
• Paglabag sa patakaran ng laki. Minsan sinusubukan ng mga baguhan na ilagay ang mas malaking disk sa ibabaw ng mas maliit. Sa pisikal na set maaari itong mangyari, ngunit nilalabag nito ang mga tuntunin at ginagawa ang pagkakaayos na mali. Sa mga digital na bersyon, karaniwang hinaharang ng programa ang ganitong aksyon. Laging tiyakin na ang inililipat na disk ay inilalagay alinman sa bakanteng tungkod o sa disk na mas malaki ang diyametro.
• Pagtangkang buwagin nang buo ang tore. Minsan sinusubukan ng mga baguhan na «ilagak» ang lahat ng disk sa mga malalayang tungkod, iniisip na magiging mas madali pagkatapos buuin muli ang piramide sa tungkod na pupuntahan. Hindi pinapayagan ng laro ito: may isang tungkod na hindi maiiwasang mananatiling okupado at humahadlang sa mga galaw. Ang epektibong paraan ay ang hakbang-hakbang na paglilipat: ilipat ang bahagi ng mga disk sa pantulong na tungkod, ilipat ang susi (malaking) disk, at pagkatapos ay ibalik ang natanggal na bahagi.
• Pagmamadali at kawalan ng atensyon. Ang Tower of Hanoi ay isang larong banayad ang ritmo. Ang mga padalus-dalos na galaw ay nagreresulta sa pagkalaktaw ng mahahalagang hakbang at pagdami ng mga paglipat. Lalo na sa simula, kapaki-pakinabang ang panatilihin ang pantay na bilis, bantayan ang kalagayan ng tatlong tungkod at kalkulahin nang pauna ang magiging bunga ng bawat galaw; sa ganoong paraan, mas madaling makamit ang pinakamaliit na solusyon.

Mga estratehiya para sa bihasa

Kapag natutunan na ang mga batayang paraan at ang paglutas ng klasikong tore ay hindi na mahirap, lilitaw ang pagnanais na subukan ang mas masalimuot na mga lapit. Ang mga estratehiyang pang-advanced ay tumutulong makita ang malalim na estrukturang matematikal sa likod ng simpleng laro, nagpapalawak ng pagkaunawa sa rekursyon at nagbibigay-daan upang harapin ang mas maraming disk o pinal komplikadong baryasyon. Narito ang mga teknik na nagpapalago ng estratehikong pag-iisip at ginagawang tunay na intelektuwal na hamon ang laro.

• Pag-iisip na rekursibo. Matapos matutunan ang klasikong tore na may 5–6 disk, subukang sadyang ilapat ang rekursibong paraan para sa mas malaking n. Hatiin ang gawain sa mga yugto: ilipat ang itaas na k disk sa pantulong na tungkod, ilipat ang (n − k) disk sa tungkod na pupuntahan, at ibalik ang k disk sa ibabaw. Sa pinakamainam na algoritmo, palaging k = n − 1. Ngunit bilang pagsasanay, maaaring subukan ang iba pang opsyon, kahit na hindi ganoon kaepektibo. Ang ehersisyong ito ay tumutulong maunawaan kung bakit ang pinakamababang bilang ng galaw ay 2^n − 1, at mapansin na bawat karagdagang disk ay nagdodoble ng galaw at nagdaragdag ng isa.
• Binaryong code at ang tore. Maaaring ilarawan ang mga galaw ng Tower of Hanoi bilang pagkakasunod ng mga bilang na binaryo. Bawat disk ay tumutugon sa isang posisyon, at ang lokasyon nito — sa pagbabago ng posisyong iyon. Dito lumilitaw ang kaugnayan sa Gray code: sa bawat paglipat mula sa isang estado patungo sa iba, isang bit lamang ang nagbabago, na tumutugma sa paglilipat ng isang disk. Ang obserbasyong ito ay kakaunting nakakatulong sa larong mano-mano, ngunit nagbibigay-daan na makita ang gawain bilang sunud-sunod na pagdaan sa lahat ng bilang mula 0 hanggang 2^n − 1 sa anyong binaryo. Para sa kasiyahan, subukan ipatupad ang algoritmo sa isang programa: ito ay magpapatibay ng pagkaunawa sa rekursyon at estratehikong pag-iisip.
• Paglutas na «nakapikit». Isa pang kapaki-pakinabang na pagsasanay ay lutasin ang Tower of Hanoi nang walang pisikal na set, isinusulat lamang ang mga galaw. Tukuyin ang mga tungkod bilang A, B at C at isulat ang pagkakasunod ng mga paglilipat: halimbawa, para sa n = 2 — A → B, A → C, B → C; para sa n = 3 — A → C, A → B, C → B, A → C, B → A, B → C, A → C. Sa mga pagkakasunud-sunod na ito, malinaw na makikita ang rekursibong estruktura. Ang pag-unawa sa padron ay nagbibigay kakayahang lutasin ang gawain sa isip, na nagpapalago ng abstraktong pag-iisip.
• Dagdag na tungkod. Kung ang batayang bersyon ay hindi na hamon, subukan ang laro na may apat na tungkod. Dito ang pinakamababang estratehiya ay hindi ganoon kalinaw. Para sa apat na tungkod, walang eksaktong pormula at ang optimalidad ng ilang algoritmo ay nananatiling hindi napatutunayan. Gayunpaman, kilala na para sa 15 disk, ang pinakamababang solusyon na may apat na tungkod ay nangangailangan ng 129 galaw — samantalang sa tatlo ay magiging 32 767. Mag-eksperimento: saang tungkod ililipat ang pansamantalang tumpok, ilang disk ang gagamitin sa bawat yugto. Ito ay nagpapalago ng malikhaing lapit at nagbibigay ng mas malalim na pagkaunawa sa mga prinsipyong estratehiko ng palaisipan.

Ang pinakamainam na paraan upang matutong lutasin ang Tower of Hanoi ay ang sumunod sa malinaw na estratehiya. Sa simula, kapaki-pakinabang na matutunan ang batayang paraan para sa tatlong tungkod, saka unti-unting dagdagan ang bilang ng disk, magtakda ng limitasyon sa oras, o subukan ang paglutas na «nakapikit». Maganda ang palaisipang ito sapagkat palagi itong nag-aalok ng bagong antas ng hirap at nagbibigay-daan sa patuloy na pag-unlad, anuman ang karanasan ng manlalaro.

Kapag natutunan na ang mga tuntunin ng Tower of Hanoi at ang pangunahing estratehiya, maaaring dumako sa praktika. Ang laro ay nagsasanay ng kakayahang magplano at mag-isip nang ilang hakbang nang pauna, nagpapalago ng atensyon at pasensya. Kahit hindi laging matagumpay ang mga unang pagsubok, ang pagkakapare-pareho at pokus ay nagsisiguro ng tagumpay. Malinaw na ipinapakita ng Tower of Hanoi: maging ang pinakamahirap na gawain ay nagiging malulutas kung hahatiin ito sa simpleng mga hakbang at isasagawa nang sunud-sunod.

Ang palaisipan, na nilikha mahigit 140 taon na ang nakalipas, ay patuloy na nagbibigay-inspirasyon hanggang ngayon. Sa pagsubok na buuin ang tore, nagiging bahagi ka ng mahabang tradisyon ng mga tagahanga ng larong ito — mula sa mga estudyante hanggang sa mga propesor ng matematika. Ang unibersalidad at lalim nito ay ginagawa ang Tower of Hanoi na isang walang panahong gawain na nagbubuklod sa mga henerasyon. Handa ka bang subukan ang iyong sarili? Maglaro ng Tower of Hanoi online ngayon — libre at walang pagpaparehistro!