Tower of Hanoi dalam talian, percuma

Tower of Hanoi — salah satu teka-teki logik paling terkenal dalam sejarah, dikelilingi oleh legenda yang menarik dan warisan budaya yang kaya. Walaupun strukturnya ringkas — tiga batang dan satu set cakera dengan diameter berbeza — permainan ini menonjol dengan kedalaman logik dan daya tarikan mitos yang berkait dengannya. Dicipta pada abad ke-19, Tower of Hanoi dengan cepat meraih populariti dalam kalangan peminat teka-teki dan ahli matematik di seluruh dunia.

Kisahnya wajar diberi perhatian bukan sahaja kerana keanggunan peraturannya, tetapi juga kerana pengaruh permainan ini terhadap budaya negara yang berbeza, amalan pendidikan, malah penyelidikan saintifik. Dalam artikel ini, kami akan mengkaji secara terperinci asal usul Tower of Hanoi, menelusuri evolusi bentuk dan maknanya, berkongsi fakta yang kurang diketahui, kemudian beralih kepada penerangan tentang peraturan dan strategi permainan. Hasilnya, anda akan mengetahui mengapa teka-teki ini memikat minda banyak generasi dan mengapa ia masih dianggap sebagai lambang kecemerlangan intelektual.

Sejarah Tower of Hanoi

Asal usul dan pencipta

Teka-teki Tower of Hanoi dicipta di Perancis pada tahun 1883 dan dengan cepat menjadi terkenal kerana gabungan luar biasa antara bentuk ringkas dan idea matematik yang anggun. Penciptanya ialah ahli matematik Perancis Édouard Lucas — seorang sarjana yang terkenal dengan kajian dalam bidang teori nombor serta usahanya mempopularkan sains melalui apa yang dipanggil «matematik rekreasi».

Namun, Lucas memilih untuk memperkenalkan permainan ini kepada orang ramai bukan dengan namanya sendiri, tetapi melalui watak rekaan «Profesor N. Claus dari Siam» — seorang tokoh misteri yang kononnya membawa teka-teki purba dari Tonkin (bahagian utara Vietnam moden). Mistifikasi ini, ditambah dengan rujukan kepada asal usul eksotik, memberikan teka-teki itu aura romantik dan menjadikannya sangat menarik bagi khalayak Eropah pada abad ke-19, yang terpesona dengan legenda dan keanehan «Timur».

Lama-kelamaan, para penyelidik yang teliti menyedari permainan kata yang tersembunyi. Nama N. Claus (de Siam) ternyata anagram kepada Lucas d’Amiens, manakala «kolej Li-Sou-Stian» yang disebut dalam penerangan, apabila huruf-hurufnya ditukar, menjadi nama sebenar Lycée Saint Louis di Paris, tempat Lucas bekerja sebagai guru. Maka, legenda yang dicipta dengan teliti ini rupa-rupanya sebuah teka-teki jenaka, di mana penciptanya sendiri meninggalkan tandatangannya.

Orang pertama yang secara terbuka membongkar mistifikasi ini ialah penyebar sains Perancis Gaston Tissandier. Dalam penerbitannya, beliau menunjukkan bahawa di sebalik watak «mandarin Cina» itu sebenarnya Lucas sendiri, sekali gus mendedahkan asal usul sebenar permainan ini. Kisah ini lebih mengukuhkan lagi reputasi Tower of Hanoi bukan sahaja sebagai teka-teki yang menghiburkan, tetapi juga sebagai fenomena budaya, di mana logik berkait rapat dengan simbol dan kiasan.

Edisi pertama permainan

Pada mulanya, teka-teki ini diterbitkan di Perancis dengan nama La Tour d’Hanoï (terjemahannya — «Menara Hanoi») bersama dengan arahan bercetak yang menerangkan asal-usul mitosnya dalam bentuk popular. Set tersebut mengandungi tapak kayu dengan tiga batang menegak dan lapan cakera berlubang dengan saiz berbeza. Pemilihan tepat lapan cakera dibuat oleh Édouard Lucas sendiri: bilangan ini kelihatan cukup mencabar untuk mengekalkan minat, tetapi pada masa yang sama masih boleh diselesaikan.

Setiap set disertakan dengan sebuah risalah kecil yang menceritakan legenda tentang menara cakera emas. Unsur artistik ini memberikan teka-teki itu nuansa mistik khas dan menjadikannya sesuatu yang lebih daripada sekadar masalah matematik. Gabungan berjaya antara struktur ringkas dan legenda yang menarik membuatkan permainan ini segera menonjol daripada hiburan lain dan menimbulkan minat besar dalam kalangan masyarakat.

Pada tahun 1884–1885, penerangan dan ilustrasi Tower of Hanoi mula muncul dalam majalah popular. Sebagai contoh, penerbitan Perancis La Nature menyiarkan versi legenda «Menara Brahma», mempersembahkan teka-teki baharu ini sebagai sebahagian daripada mitos Timur. Pada tahun yang sama, majalah Amerika Popular Science Monthly menerbitkan catatan dengan ukiran yang menggambarkan proses penyelesaian masalah itu. Penerbitan ini memainkan peranan penting dalam penyebaran permainan di luar Perancis: melalui media, ia dikenali di Eropah dan Amerika Syarikat, sekali gus mengukuhkan status Tower of Hanoi sebagai teka-teki klasik yang patut diberi perhatian oleh para sarjana dan masyarakat umum.

Legenda Menara Brahma

Unsur utama kejayaan teka-teki ini ialah legenda yang dicipta oleh Lucas sendiri atau mungkin diilhamkan oleh kisah lama. Dalam kisah ini, peristiwa berlaku di kuil dewa Brahma di India (kadangkala dalam penceritaan lain — di biara), di mana sami atau pendeta menjalankan kerja abadi: memindahkan 64 cakera yang dipasang pada tiga batang berlian. Menurut legenda, cakera ini diperbuat daripada emas tulen dan diletakkan oleh dewa itu sendiri pada saat penciptaan dunia. Tugas mereka ketat dan tidak boleh diubah — memindahkan hanya satu cakera pada satu masa dan tidak pernah meletakkan yang lebih besar di atas yang lebih kecil.

Menurut mitos, apabila semua 64 cakera telah dipindahkan dari satu batang ke batang yang lain, dunia mesti menamatkan kewujudannya. Dalam pelbagai versi legenda, lokasi peristiwa diletakkan sama ada di Vietnam, di bandar Hanoi, atau di India, di kuil di Benares. Oleh itu, permainan ini dikenali sebagai «Menara Hanoi» dan juga «Menara Brahma». Kadangkala diceritakan bahawa sami hanya membuat satu langkah setiap hari, dalam versi lain — kerja mereka tidak terhad masa.

Namun, walaupun dalam senario terpantas — satu langkah setiap saat — manusia kononnya tidak perlu bimbang: untuk menyelesaikan tugas itu diperlukan 2^64 – 1 pemindahan, iaitu kira-kira 585 bilion tahun. Tempoh ini berkali ganda lebih lama daripada usia alam semesta yang diketahui sains moden. Maka, legenda ini bukan sahaja memberikan teka-teki itu nuansa dramatik, tetapi juga mengandungi unsur jenaka halus: ia menekankan bahawa tugas itu amat sukar, tetapi pada masa yang sama memberikan peluang kepada ahli matematik dan peminat teka-teki untuk «mengira kiamat» dalam kerangka sebuah kisah yang indah.

Penyebaran dan perkembangan

Puzzle Tower of Hanoi dengan cepat meraih populariti di Eropah. Menjelang akhir abad ke-19, ia dikenali bukan sahaja di Perancis, tetapi juga di England dan Amerika Utara. Pada tahun 1889, Édouard Lucas menerbitkan sebuah buku kecil khas dengan penerangan tentang teka-teki itu, dan selepas kematiannya pada tahun 1891, masalah ini dimasukkan ke dalam jilid selepas kematiannya dalam karya terkenalnya «Récréations mathématiques». Melalui penerbitan ini, Tower of Hanoi akhirnya disahkan sebagai sebahagian daripada warisan klasik matematik rekreasi.

Pada masa yang sama, teka-teki ini mula tersebar dengan pelbagai nama: «Menara Brahma», «Menara Lucas» dan lain-lain, bergantung pada negara dan penerbit. Pengeluar mainan di pelbagai negara mengeluarkan versi set mereka sendiri kerana Lucas tidak mempatenkan ciptaannya, dan strukturnya boleh disalin dengan bebas. Di England pada awal abad ke-20, misalnya, terdapat edisi yang dikenali sebagai The Brahma Puzzle. Terdapat contoh yang masih wujud, diterbitkan di London oleh syarikat R. Journet sekitar tahun 1910–1920, dengan teks legenda tentang pendeta dan 64 cakera emas dicetak pada kotaknya.

Di Amerika Syarikat, Tower of Hanoi menjadi sebahagian daripada rangkaian «mainan saintifik» yang popular dan dengan cepat menemui tempatnya di samping hiburan logik lain yang terkenal. Kesederhanaan struktur — tiga batang dan set cakera — membolehkannya dengan mudah dihasilkan semula, manakala variasi legenda menjadikannya lebih menarik. Dalam dekad-dekad pertama abad ke-20, teka-teki ini tersebar dalam ribuan salinan dan mendapat tempat di antara klasik seperti teka-teki 15, dan kemudian juga kiub Rubik (walaupun sudah tentu Tower of Hanoi wujud jauh sebelum kiub itu).

Kekekalan peraturan dan kepentingan saintifik

Sejak kemunculan Tower of Hanoi, peraturannya hampir tidak berubah. Prinsip utama — memindahkan cakera satu demi satu dan tidak pernah meletakkan yang lebih besar di atas yang lebih kecil — kekal sama seperti yang diformulasikan oleh Édouard Lucas pada tahun 1883. Kekekalan peraturan ini menunjukkan kesempurnaan struktur asal.

Namun, dari masa ke masa, makna permainan ini berubah: ia berhenti menjadi sekadar hiburan yang indah dan berubah menjadi alat untuk pelbagai bidang ilmu. Ahli matematik memberi perhatian kepada corak bilangan minimum langkah: urutan 1, 3, 7, 15, 31 dan seterusnya. Progresi ini didapati berkaitan dengan hubungan binomial dan sistem nombor perduaan, manakala struktur masalah itu sendiri menunjukkan dengan jelas hubungan antara permainan logik dan asas teori matematik.

Dalam bidang sains komputer, Tower of Hanoi menjadi contoh klasik rekursi — kaedah di mana masalah dibahagikan kepada beberapa sub-masalah yang serupa tetapi lebih kecil. Pada separuh kedua abad ke-20, teka-teki ini dimasukkan ke dalam kursus pengaturcaraan: pelajar belajar menulis algoritma rekursif melalui contoh ini dan melihat bagaimana pembahagian elegan masalah kompleks kepada bahagian-bahagian membawa kepada penyelesaian yang ringkas dan indah.

Kemudian permainan ini mula digunakan dalam psikologi. «Ujian Tower of Hanoi» digunakan untuk menilai keupayaan kognitif seseorang, keupayaannya merancang tindakan dan mengingati urutan langkah. Tugasan sedemikian digunakan dalam diagnosis akibat kecederaan otak traumatik, dalam kajian gangguan kognitif yang berkaitan dengan usia, dan dalam penyelidikan fungsi lobus frontal otak.

Akibatnya, Tower of Hanoi melangkaui batas hiburan salon abad ke-19. Hari ini ia dilihat sebagai alat sejagat — pendidikan, saintifik dan diagnostik. Bentuk ringkas dengan tiga batang dan set cakera menjadi asas kepada pelbagai kajian, manakala permainan itu sendiri mengekalkan daya tarikannya kepada peminat teka-teki logik dan juga kepada profesional dalam bidang matematik, sains komputer dan psikologi.

Geografi populariti

Nama Tower of Hanoi secara langsung merujuk kepada ibu negara Vietnam — Hanoi, walaupun teka-teki itu sendiri tidak mempunyai akar Timur yang sebenar dan sepenuhnya dicipta di Perancis pada akhir abad ke-19. Walau bagaimanapun, nuansa eksotik legenda itu ternyata sangat berjaya: ia memberikan permainan itu unsur misteri dan menyumbang kepada penyebarannya yang meluas. Itulah sebabnya di pelbagai negara ia kekal dengan nama yang dikaitkan dengan Hanoi: di dunia berbahasa Inggeris — Tower of Hanoi, di Perancis — Tour d’Hanoï, di Jerman — Türme von Hanoi dan sebagainya.

Di Kesatuan Soviet, teka-teki ini dikenali selewat-lewatnya pada tahun 1960-an: ia dimasukkan dalam koleksi masalah menarik dan buku tentang matematik rekreasi. Bagi beberapa generasi pelajar sekolah, Tower of Hanoi menjadi klasik yang dikenali, dan kemudian menerima adaptasi komputer.

Menariknya, di Vietnam, walaupun tiada bukti sejarah tentang teka-teki kuno yang serupa, permainan ini juga tersebar dan dikenali dalam terjemahan. Oleh itu, ia kembali ke negara yang namanya digunakan dalam legenda itu, tetapi kali ini sebagai ciptaan Eropah.

Hari ini, geografi populariti Tower of Hanoi merangkumi hampir seluruh dunia. Ia boleh ditemui di tadika, di mana kanak-kanak kecil berlatih memindahkan cincin plastik berwarna, dan di dewan kuliah universiti, di mana pelajar sains komputer memprogramkan penyelesaian masalah itu sebagai contoh algoritma rekursif. Kesederhanaan pembuatan — cukup dengan beberapa papan kayu dan set cakera — serta keuniversalan peraturan menjadikan teka-teki ini benar-benar warisan sejagat, dikenali dan sama-sama menarik dalam mana-mana budaya.

Sejarah Tower of Hanoi kaya dengan butiran, tetapi episod dan cerita yang jarang berlaku yang mengiringinya juga tidak kurang menarik dan memberikan warna khas.

Fakta menarik tentang Tower of Hanoi

• Rekod bilangan cakera. Di muzium dan koleksi peribadi terdapat versi gergasi Tower of Hanoi dengan tiga puluh atau lebih cakera. Bilangan minimum langkah untuk masalah seperti itu melebihi satu bilion, jadi ia hampir mustahil untuk diselesaikan secara manual. Set sedemikian dicipta bukan untuk dimainkan, tetapi sebagai pameran yang mengagumkan, menekankan kerumitan tanpa batas dan kedalaman matematik teka-teki ini.
• Menara dalam budaya popular. Tower of Hanoi telah muncul berkali-kali dalam kesusasteraan, filem dan siri televisyen. Dalam cerpen sains fiksyen oleh penulis Amerika Eric Frank Russell «Now Inhale» (1959), wira utama yang menunggu hukuman mati oleh makhluk asing memilih Tower of Hanoi sebagai «keinginan terakhirnya». Dia melakukannya dengan sedar, mengetahui tentang kesukaran legenda yang tidak berkesudahan itu. Untuk memberikan sifat pertandingan, makhluk asing itu menjadikan teka-teki itu sebagai duel: dua pemain bergilir membuat langkah, dan pemenangnya ialah yang melakukan langkah terakhir. Dengan memilih menara dengan 64 cakera, wira itu sebenarnya menjamin penangguhan tanpa had untuk dirinya. Dalam filem moden permainan ini juga muncul. Dalam filem «Rise of the Planet of the Apes» (2011), Tower of Hanoi digunakan sebagai ujian kecerdasan untuk monyet yang diubah secara genetik: salah seekor daripada mereka menyusun menara daripada empat cincin dalam dua puluh langkah. Walaupun ini lebih banyak daripada bilangan minimum yang mungkin (penyelesaian optimum adalah lima belas pemindahan), adegan itu menekankan kebolehan mental haiwan dan secara visual menunjukkan kerumitan masalah itu. Siri klasik British «Doctor Who» juga merujuk kepada teka-teki ini. Dalam episod «The Celestial Toymaker» (1966), Doktor diberi tugas untuk menyelesaikan Tower of Hanoi dengan sepuluh cakera. Syaratnya sangat ketat: dia mesti membuat tepat 1023 langkah — tidak lebih, tidak kurang. Nombor ini tidak dipilih secara kebetulan: 1023 ialah bilangan minimum langkah yang mungkin untuk masalah dengan sepuluh cakera. Oleh itu, wira itu harus melalui keseluruhan jalan tanpa satu pun kesilapan, yang sekali lagi menekankan reputasi Tower of Hanoi sebagai cabaran hampir mustahil walaupun untuk pengembara masa yang genius.
• Kehadiran dalam permainan video. Menariknya, Tower of Hanoi menjadi sejenis «standard teka-teki» dan menembusi dunia permainan video. Studio Kanada BioWare terkenal kerana memasukkan mini-permainan berdasarkan Tower of Hanoi dalam banyak projeknya. Sebagai contoh, dalam permainan main peranan Jade Empire terdapat tugasan di mana cincin perlu dipindahkan di antara tiang, dan teka-teki serupa muncul dalam siri terkenal Star Wars: Knights of the Old Republic, Mass Effect dan Dragon Age: Inquisition. Episod-episod ini sering dipersembahkan sebagai mekanisme kuno atau ujian yang memerlukan kepintaran daripada wira. Teka-teki ini juga muncul dalam permainan pengembaraan klasik, sebagai contoh, dalam The Legend of Kyrandia: Hand of Fate, salah satu mekanisme misteri sebenarnya adalah Tower of Hanoi yang disamarkan sebagai ritual ajaib. Penampilan sebegini mengukuhkan imej Tower of Hanoi sebagai simbol sejagat masalah logik.
• Aspek pendidikan. Selain legenda dan hiburan, Tower of Hanoi turut meninggalkan kesan dalam sains. Pada tahun 2013, para penyelidik menerbitkan monograf «The Tower of Hanoi: Myths and Maths» (Hinz et al.), yang mengkaji secara terperinci sifat matematik teka-teki ini dan variasinya. Didapati bahawa satu teori keseluruhan «graf Tower of Hanoi» dibina di sekelilingnya, berkaitan dengan fraktal Sierpinski dan bahagian lain matematik. Dalam psikologi kognitif terdapat ujian «Tower of Hanoi», yang digunakan untuk menilai fungsi eksekutif otak — keupayaan untuk merancang dan mengikuti peraturan yang kompleks. Dalam bidang perubatan, ujian ini digunakan untuk menilai tahap pemulihan pesakit selepas kecederaan otak: keupayaan untuk menyelesaikan masalah berfungsi sebagai penanda kerja lobus frontal dan pembentukan sambungan neuron baharu. Dengan cara ini, permainan yang dahulunya dijual sebagai mainan menyeronokkan telah menjadi subjek penyelidikan serius dan bahkan penolong dalam pemulihan.

Sejarah Tower of Hanoi ialah contoh jelas bagaimana idea matematik yang anggun boleh menjadi fenomena budaya. Teka-teki ini lahir di persimpangan hiburan dan sains, berkembang dengan mitos dan simbolisme, tetapi tidak kehilangan daya tarikan utamanya — keindahan logik yang tulen. Dari salon Paris pada akhir abad ke-19 hingga ke bilik darjah moden dan aplikasi digital, Tower of Hanoi mengekalkan status klasik intelektual. Ia membuatkan kita berfikir tentang kekuatan pemikiran rekursif, mengajar kesabaran dan perancangan tepat. Dengan mengetahui sejarahnya, anda tanpa disedari akan merasakan rasa hormat terhadap menara kecil cakera ini — simbol pencarian penyelesaian tanpa henti.

Adakah anda mahu merasakan diri sebagai pendeta yang memegang nasib dunia di tangannya, atau sekadar menguji pemikiran logik anda? Dalam bahagian kedua, kami akan menceritakan cara bermain Tower of Hanoi, menerangkan peraturan dengan terperinci dan berkongsi petua menyelesaikan teka-teki legenda ini. Memahami sejarahnya semoga memberi inspirasi kepada anda dalam menguasai permainan — satu cabaran intelektual yang menarik menanti anda.

Teka-teki ini mendapat kemasyhuran di seluruh dunia bukan sahaja kerana legenda, tetapi juga kerana mekaniknya yang menyeronokkan. Seterusnya kami akan menerangkan dengan lebih terperinci cara bermain Tower of Hanoi, dan mendedahkan beberapa helah taktikal. Cubalah menyelesaikan masalah ini — mungkin proses itu sendiri akan memikat anda sama seperti kisah penciptaannya.

Tower of Hanoi — teka-teki logik meja untuk seorang pemain (atau secara kompetitif untuk dua orang, jika diselesaikan mengikut masa). Set klasik terdiri daripada asas dengan tiga batang menegak dan satu set cakera dengan diameter berbeza (biasanya antara 5 hingga 8 dalam versi moden). Pada permulaan, semua cakera disusun pada batang kiri, membentuk sebuah piramid di mana setiap cakera yang lebih besar berada di bawah cakera yang lebih kecil.

Matlamat permainan — memindahkan keseluruhan piramid ke batang lain (selalunya ditetapkan pada batang paling kanan) dengan bilangan langkah minimum. Permainan ini tidak terhad masa: tempohnya bergantung pada bilangan cakera dan pengalaman pemain. Sebagai contoh, teka-teki dengan tiga cakera dapat diselesaikan dalam beberapa minit, manakala untuk memindahkan lapan cakera mungkin mengambil masa sehingga lima belas minit kerja yang fokus. Tower of Hanoi mengasah pemikiran logik, tumpuan dan kesabaran, justeru digemari oleh kanak-kanak dan orang dewasa.

Pada pandangan pertama, Tower of Hanoi kelihatan seperti tugas mudah, tetapi di sebalik kesederhanaannya terdapat logik yang ketat. Dengan memindahkan piramid mengikut peraturan, pemain secara praktikal mempelajari prinsip rekursi: matlamat besar menjadi tercapai jika ia dipecahkan kepada urutan langkah kecil. Struktur ini membangunkan kebolehan merancang tindakan dan menumpukan perhatian, sementara menyelesaikan permainan memberikan kepuasan istimewa daripada penyelesaian yang jelas tersusun.

Peraturan Tower of Hanoi: cara bermain

Matlamat permainan

Tugas pemain adalah untuk memindahkan keseluruhan menara — timbunan cakera — dari batang asal ke batang lain. Dalam proses ini, susunan asal mesti dikekalkan: pada batang sasaran, cakera harus membentuk piramid yang betul, di mana setiap elemen yang lebih besar berada di bawah yang lebih kecil. Dengan kata lain, hasil akhir mesti sepenuhnya meniru struktur awal, hanya pada sokongan baharu.

Peralatan

Permainan menggunakan asas dengan tiga batang menegak, yang secara konvensional dilabel A, B dan C. Tambahan pula diperlukan satu set cakera n dengan diameter berbeza (n ≥ 3; dalam versi klasik — 8). Semua cakera mempunyai lubang dan boleh bergerak bebas antara batang. Pada permulaan permainan, ia disusun pada batang A dan membentuk piramid: cakera terbesar berada di bawah, dengan cakera yang lebih kecil diletakkan secara berturut-turut di atasnya.

Peraturan langkah

• Memindahkan cakera. Setiap langkah terdiri daripada mengambil satu cakera teratas dari batang yang dipilih dan meletakkannya pada batang lain. Cakera sentiasa diambil hanya dari puncak timbunan, jadi elemen bawah kekal tidak bergerak sehingga ia dilepaskan. Memindahkan beberapa cakera sekaligus adalah dilarang: permainan dibina berdasarkan langkah berturutan, di mana keseluruhan struktur dipasang semula secara beransur-ansur.
• Had saiz. Tidak dibenarkan meletakkan cakera yang lebih besar di atas cakera yang lebih kecil. Peraturan ini memastikan struktur piramid dikekalkan: pada setiap batang, cakera mesti disusun dari atas ke bawah mengikut saiz menaik — daripada yang paling kecil ke yang paling besar. Semasa memindahkan, cakera boleh diletakkan sama ada pada batang kosong atau di atas cakera dengan diameter lebih besar, sekali gus mengekalkan susunan yang betul. Sebarang cubaan melanggar syarat ini menjadikan langkah itu tidak sah.
• Batang sasaran. Dalam versi klasik, matlamatnya adalah memindahkan keseluruhan piramid dari batang kiri A ke batang kanan C, manakala batang tengah B digunakan sebagai bantuan. Syarat ini menetapkan arah dan menjadikan tugas itu jelas. Namun secara umum, menara boleh dipindahkan ke mana-mana dua batang bebas: jika pada permulaan tidak ditentukan batang sasaran, hasilnya akan sama — yang penting adalah peniruan tepat piramid di tempat baharu.

Jalan permainan

Pemain secara berturutan melakukan pemindahan mengikut peraturan. Langkah pertama sentiasa melibatkan cakera terkecil — satu-satunya yang bebas pada permulaan. Ia boleh dipindahkan sama ada ke batang tengah atau batang kanan. Perkembangan seterusnya bergantung pada pilihan yang dibuat. Permainan berterusan sehingga keseluruhan piramid berjaya dipasang pada batang sasaran.

Tamat

Permainan dianggap selesai apabila keseluruhan menara telah dipindahkan ke batang sasaran dan disusun semula dalam susunan asal: cakera terbesar di bawah dan yang terkecil di atas. Struktur akhir mesti sepenuhnya sepadan dengan piramid asal, hanya pada lokasi baharu.

Bilangan langkah minimum

Secara teori telah dibuktikan bahawa bilangan langkah optimum untuk menyelesaikan Tower of Hanoi dengan n cakera adalah 2^n − 1. Untuk nilai kecil ini mudah disahkan: bagi tiga cakera — 7 langkah, bagi empat — 15, bagi lima — 31. Sebagai contoh, bagi lapan cakera diperlukan 255 langkah, manakala sepuluh memerlukan 1023. Sebarang penyimpangan daripada strategi optimum akan meningkatkan bilangan langkah, oleh itu pemain berpengalaman berusaha mengikuti trajektori minimum.

Variasi peraturan

Versi klasik merangkumi tiga batang dan kebebasan untuk memindahkan cakera ke mana-mana batang lain. Walau bagaimanapun, terdapat variasi dan pengubahsuaian yang diiktiraf.

• Dengan sokongan tambahan. Penambahan batang keempat atau kelima membawa kepada pencarian algoritma baharu untuk pemindahan. Telah diketahui bahawa dengan empat sokongan, bilangan langkah minimum lebih kecil berbanding tiga (versi ini dikenali sebagai Reve’s Puzzle). Sebagai contoh, lapan cakera boleh dipindahkan dalam 129 langkah berbanding 255. Bagi bilangan batang yang sewenang-wenangnya, formula sejagat masih belum ada: hipotesis Frame-Stewart digunakan sebagai rujukan, yang kekal tidak terbukti selama lebih tujuh dekad.
• Menara kitaran. Dalam versi ini, batang disusun secara bulatan, dan cakera hanya boleh dipindahkan dalam satu arah (contohnya, mengikut arah jam), tanpa «melangkau» sokongan di tengah. Jadi dari batang A, cakera hanya boleh dipindahkan ke batang B, dari B ke C, dan seterusnya. Had ini menjadikan strategi jauh lebih sukar dan meningkatkan bilangan langkah, walaupun logik rekursif kekal sebagai asas penyelesaian.
• Segitiga ajaib. Satu lagi variasi di mana tiga batang diletakkan pada bucu segitiga. Peraturan yang sama digunakan (satu cakera pada satu masa, tidak boleh meletakkan yang besar di atas yang kecil), tetapi syarat tambahan diperkenalkan: cakera terkecil bergerak hanya mengikut arah jam, manakala semua yang lain bergerak berlawanan arah. Versi ini pada dasarnya berkait rapat dengan menara kitaran dan berkaitan dengan penggunaan kod binari Gray (Frank Gray): urutan pemindahan cakera bertepatan dengan kod yang disusun tanpa langkah tambahan.

Walaupun terdapat perbezaan dalam variasi — sokongan tambahan, susunan bulatan atau had arah pergerakan — idea asas kekal sama: struktur tugas tidak berubah. Ini jelas menunjukkan keuniversalan idea Lucas: ia boleh diubah suai dan dipersulit, tetapi logik asal tetap jelas dan tidak berubah.

Petua untuk pemain pemula Tower of Hanoi

Selepas memahami peraturan asas, timbul keinginan semula jadi untuk mencuba menyelesaikan Tower of Hanoi secara berdikari. Untuk memastikan langkah pertama lebih bermakna, adalah berguna bergantung pada pendekatan yang terbukti. Berikut dikumpulkan petua praktikal — daripada taktik mudah yang membolehkan anda cepat menguasai kaedah asas, hingga kepada teknik yang lebih halus yang membantu mengelakkan kesilapan biasa dan membangunkan kemahiran.

Pendekatan taktikal

Kaedah taktikal membolehkan penyelesaian Tower of Hanoi diatur dalam sistem langkah yang jelas. Walaupun tugasan kelihatan besar, strategi yang betul mengubahnya menjadi urutan tindakan mudah. Berikut dibincangkan pendekatan utama yang membantu menyusun permainan dan menghampiri bilangan langkah optimum.

• Algoritma «bebaskan cakera besar». Elemen utama teka-teki ialah cakera terbesar. Ia tidak boleh dipindahkan selagi semua cakera lain di atasnya belum dialihkan. Oleh itu, penyelesaian sentiasa dibina dalam dua fasa: pertama, n − 1 cakera kecil dipindahkan sementara ke batang bantuan, kemudian cakera terbesar dipindahkan ke batang sasaran, dan selepas itu piramid n − 1 cakera dibina semula di atasnya. Kaedah ini merupakan asas pendekatan rekursif: untuk memindahkan menara dengan n cakera, mula-mula perlu menyelesaikan tugas yang sama dengan n − 1 cakera. Dalam praktiknya, ini bermaksud perhatian pemain pada setiap peringkat harus difokuskan pada pembebasan jalan bagi elemen terbesar.
• Peranan cakera terkecil. Cakera terkecil adalah yang paling mudah alih dan sebenarnya menentukan rentak keseluruhan permainan. Terdapat strategi di mana ia bergerak setiap dua langkah, berselang dengan cakera lain. Jika bilangan cakera ganjil, langkah pertama sentiasa ke batang sasaran (A → C), jika genap — ke batang bantuan (A → B). Seterusnya, cakera kecil bergerak secara bulatan: untuk n ganjil — mengikut arah jam (A → C → B → A ...), untuk n genap — berlawanan arah jam (A → B → C → A ...). Skema teratur ini mengautomasikan separuh daripada langkah dan menjadikan proses lebih mudah dijangka.
• Satu-satunya langkah yang mungkin. Selepas setiap pemindahan cakera kecil, timbul hanya satu langkah seterusnya: antara cakera lain pada masa itu, hanya satu yang boleh dipindahkan tanpa melanggar peraturan. Ini bermaksud strategi berkurang kepada penggantian: «cakera kecil → satu-satunya cakera besar yang dibenarkan → kecil → besar tunggal...». Algoritma ini menjamin penyelesaian masalah dengan bilangan langkah minimum dan melindungi daripada kesilapan walaupun untuk pemula.

Kesilapan pemula

Walaupun mengetahui peraturan, pemain pemula sering melakukan kesilapan yang sama. Kesilapan ini tidak menjadikan tugasan mustahil, tetapi dengan ketara meningkatkan bilangan langkah dan mengurangkan kejelasan penyelesaian. Dengan memahami kesilapan yang paling biasa, lebih mudah difahami apa yang harus dielakkan dan bagaimana membina strategi yang lebih berkesan.

• Langkah rawak tanpa pelan. Kesilapan biasa ialah menggerakkan cakera secara rawak, tanpa strategi menyeluruh. Pergerakan rawak mungkin berkesan dengan 3–4 cakera, tetapi dengan 5–6 ia membawa kepada jalan buntu. Lebih baik terus mengikuti algoritma: bebaskan cakera besar, pindahkan ia dan pulihkan piramid. Strategi yang terancang mengelakkan pemindahan yang tidak perlu dan menjimatkan masa.
• Pelanggaran peraturan saiz. Pemula kadang-kadang cuba meletakkan cakera besar di atas cakera kecil. Dalam set sebenar, langkah ini secara fizikal mungkin, tetapi ia melanggar peraturan dan menjadikan susunan cakera tidak betul. Dalam versi digital, tindakan sebegini biasanya disekat oleh program. Sentiasa pastikan cakera yang dipindahkan diletakkan sama ada pada batang kosong atau pada cakera dengan saiz lebih besar.
• Cubaan membongkar menara sepenuhnya. Pemula kadang-kadang cuba «memunggah» semua cakera pada sokongan bebas, menganggap bahawa kemudian lebih mudah membina piramid pada batang sasaran. Permainan ini tidak membenarkan: salah satu batang pasti kekal diduduki dan menyekat langkah. Laluan yang berkesan ialah pemindahan berperingkat: alihkan sebahagian cakera ke batang simpanan, bebaskan dan pindahkan cakera utama (besar), kemudian kembalikan bahagian yang dikeluarkan.
• Tergesa-gesa dan kurang tumpuan. Tower of Hanoi ialah permainan yang tenang. Langkah tergesa-gesa membawa kepada tertinggalnya langkah penting dan peningkatan bilangan pemindahan. Terutamanya pada peringkat awal, berguna untuk mengekalkan tempo yang sekata, memerhati keadaan ketiga-tiga batang dan mengira akibat setiap langkah terlebih dahulu; dengan cara ini lebih mudah mencapai penyelesaian minimum.

Strategi untuk pemain mahir

Apabila kaedah asas telah dikuasai dan penyelesaian menara klasik tidak lagi mencabar, timbul keinginan untuk mencuba pendekatan yang lebih kompleks. Strategi lanjutan membantu melihat struktur matematik mendalam di sebalik permainan mudah, meluaskan pemahaman tentang rekursi dan membolehkan bekerja dengan tugasan yang melibatkan lebih banyak cakera atau versi yang lebih sukar. Berikut diberikan teknik yang mengembangkan pemikiran strategik dan menjadikan permainan cabaran intelektual sebenar.

• Pemikiran rekursif. Setelah menguasai menara klasik dengan 5–6 cakera, cuba gunakan pendekatan rekursif secara sedar untuk n yang lebih besar. Bahagikan tugasan kepada peringkat: pindahkan k cakera teratas ke batang bantuan, pindahkan cakera (n − k) ke batang sasaran, kemudian kembalikan k cakera di atas. Dalam algoritma optimum, sentiasa k = n − 1, iaitu semua cakera kecuali yang bawah dikeluarkan. Tetapi untuk tujuan latihan, boleh juga mencuba pilihan lain, walaupun kurang berkesan. Latihan ini membantu memahami mengapa bilangan langkah minimum ialah 2^n − 1, dan menyedari bahawa setiap cakera tambahan menggandakan bilangan langkah dan menambah satu.
• Kod binari dan menara. Langkah Tower of Hanoi boleh ditunjukkan dalam bentuk urutan nombor binari. Setiap cakera mewakili satu digit, dan kedudukannya mewakili perubahan digit itu. Di sini terlihat hubungan dengan kod Gray: apabila berpindah dari satu keadaan ke keadaan lain, hanya satu bit berubah, yang sepadan dengan pemindahan satu cakera. Pemerhatian ini kurang membantu semasa permainan manual, tetapi membolehkan melihat tugasan sebagai turutan semua nombor dari 0 hingga 2^n − 1 dalam bentuk binari. Untuk minat, cuba laksanakan algoritma penyelesaian dalam program: ini mengukuhkan pemahaman tentang rekursi dan pemikiran strategik.
• Menyelesaikan «tanpa melihat». Satu lagi amalan berguna ialah menyelesaikan Tower of Hanoi tanpa set fizikal, hanya mencatat langkah. Namakan batang sebagai A, B dan C dan tulis turutan pemindahan: contohnya, untuk n = 2 — A → B, A → C, B → C; untuk n = 3 — A → C, A → B, C → B, A → C, B → A, B → C, A → C. Dalam urutan ini jelas terlihat struktur rekursif. Memahami corak membolehkan tugasan diselesaikan dalam fikiran, yang sangat mengembangkan pemikiran abstrak.
• Batang tambahan. Jika versi asas tidak lagi mencabar, cuba permainan dengan empat sokongan. Di sini strategi minimum tidak begitu jelas. Untuk empat batang, formula tepat masih tidak diketahui, dan keberkesanan beberapa algoritma belum terbukti. Walau bagaimanapun, diketahui bahawa untuk 15 cakera, penyelesaian minimum dengan empat batang memerlukan 129 langkah — sedangkan dengan tiga ia adalah 32 767. Bereksperimenlah: pada batang mana hendak memindahkan timbunan sementara, berapa banyak cakera digunakan pada setiap peringkat. Ini mengembangkan pendekatan kreatif dan membolehkan pemahaman yang lebih mendalam tentang prinsip strategik teka-teki.

Cara terbaik untuk belajar menyelesaikan Tower of Hanoi ialah mengikuti strategi yang jelas. Pada mulanya berguna menguasai kaedah asas untuk tiga batang, kemudian secara beransur-ansur menambah bilangan cakera, menetapkan had masa atau mencuba penyelesaian «tanpa melihat». Teka-teki ini bagus kerana sentiasa menawarkan tahap kesukaran baharu dan membolehkan perkembangan berterusan tanpa mengira pengalaman pemain.

Setelah menguasai peraturan dan strategi asas Tower of Hanoi, anda boleh beralih kepada latihan. Permainan ini melatih kebolehan merancang dan mengira beberapa langkah ke hadapan, membangunkan perhatian dan kesabaran. Walaupun percubaan pertama tidak selalu berjaya, konsistensi dan fokus menjamin kejayaan. Tower of Hanoi dengan jelas menunjukkan: walaupun tugasan paling sukar boleh diselesaikan jika dipecahkan kepada langkah mudah dan dilakukan secara berturutan.

Teka-teki yang dicipta lebih 140 tahun lalu masih memberi inspirasi sehingga kini. Dengan mencuba menyusun menara, anda menjadi sebahagian daripada tradisi panjang peminat permainan ini — daripada pelajar sekolah hingga profesor matematik. Keuniversalan dan kedalamannya menjadikan Tower of Hanoi satu aktiviti tanpa batasan masa yang menyatukan generasi. Bersedia mencuba diri anda? Mainkan Tower of Hanoi secara dalam talian sekarang — percuma dan tanpa pendaftaran!