Tower of Hanoi ऑनलाइन, मुफ्त में उपलब्ध

Tower of Hanoi — इतिहास की सबसे प्रसिद्ध तार्किक पहेलियों में से एक है, जो एक रोचक किंवदंती और समृद्ध सांस्कृतिक विरासत से जुड़ी है। इसकी संरचना की सादगी के बावजूद — तीन खूँटे और अलग-अलग व्यास के चक्रों का एक सेट — यह खेल अपनी तार्किक गहराई और उससे जुड़ी पौराणिक आकर्षण के कारण अलग नज़र आता है। उन्नीसवीं शताब्दी में आविष्कार होने के बाद, Tower of Hanoi ने जल्दी ही दुनिया भर में पहेलियों के प्रेमियों और गणितज्ञों के बीच लोकप्रियता हासिल कर ली।

इसका इतिहास ध्यान देने योग्य है न केवल इसके सुंदर नियमों के कारण, बल्कि उस प्रभाव के कारण भी जो खेल ने विभिन्न देशों की संस्कृतियों, शैक्षिक अभ्यासों और यहाँ तक कि वैज्ञानिक अनुसंधानों पर डाला। इस लेख में हम विस्तार से Tower of Hanoi की उत्पत्ति पर नज़र डालेंगे, इसके रूप और महत्व के विकास को समझेंगे, कुछ कम ज्ञात तथ्यों को साझा करेंगे और फिर खेल के नियमों और रणनीतियों का वर्णन करेंगे। परिणामस्वरूप आप जानेंगे कि इस पहेली ने पीढ़ियों तक लोगों के मन को क्यों मोहित किया और आज भी इसे बौद्धिक परिष्कार का प्रतीक क्यों माना जाता है।

Tower of Hanoi का इतिहास

उत्पत्ति और लेखक

Tower of Hanoi पहेली 1883 में फ्रांस में बनाई गई थी और अपनी संरचना की सादगी और एक सुंदर गणितीय विचार के असामान्य संयोजन के कारण जल्दी ही प्रसिद्ध हो गई। इसके लेखक फ्रांसीसी गणितज्ञ एडुआर्ड लुकास (Édouard Lucas) थे — एक विद्वान जो संख्या सिद्धांत में अपने शोध और «मनोरंजन के लिए गणित» के माध्यम से विज्ञान को लोकप्रिय बनाने के लिए प्रसिद्ध थे।

हालाँकि, लुकास ने खेल को अपने नाम से जनता के सामने प्रस्तुत करने के बजाय एक काल्पनिक पात्र — «प्रोफेसर एन. क्लॉस ऑफ सियाम» — के रूप में पेश करना पसंद किया। यह रहस्यमय चरित्र मानो टोंकिन (वर्तमान उत्तरी वियतनाम) से एक प्राचीन पहेली लाया हो। इस छल ने, जिसमें विदेशी उत्पत्ति का संकेत जोड़ा गया था, खेल को एक रोमांटिक आभा दी और इसे उन्नीसवीं शताब्दी के यूरोपीय दर्शकों के लिए विशेष रूप से आकर्षक बना दिया, जो «पूर्वी» किंवदंतियों और विचित्रताओं में रुचि रखते थे।

समय के साथ, सतर्क शोधकर्ताओं ने छिपा हुआ शब्द खेल खोजा। यह पता चला कि नाम N. Claus (de Siam) वास्तव में Lucas d’Amiens (एमियाँ का लुकास) का एक एनाग्राम था, और विवरणों में उल्लिखित «Li-Sou-Stian कॉलेज» अक्षरों की अदला-बदली करने पर पेरिस के वास्तविक Lycée Saint Louis का नाम बन जाता है, जहाँ लुकास शिक्षक थे। इस प्रकार, सावधानीपूर्वक गढ़ी गई यह किंवदंती वास्तव में एक चतुर पहेली थी जिसमें लेखक ने अपना हस्ताक्षर छोड़ दिया था।

इस छल का सार्वजनिक रूप से सबसे पहले पर्दाफाश फ्रांसीसी विज्ञान लोकप्रियकार गैस्टन टिसांडियर (Gaston Tissandier) ने किया। अपनी प्रकाशनों में उन्होंने दिखाया कि «चीनी मंदारिन» का चरित्र वास्तव में स्वयं लुकास था, और इस प्रकार खेल की वास्तविक उत्पत्ति का खुलासा हुआ। इस कहानी ने Tower of Hanoi की प्रतिष्ठा को और मजबूत किया, जो न केवल एक आकर्षक पहेली थी बल्कि एक सांस्कृतिक घटना भी, जहाँ तर्क प्रतीकों और संकेतों के खेल में घुलमिल जाता है।

खेल का पहला संस्करण

शुरुआत में पहेली फ्रांस में La Tour d’Hanoï («हनोई का टॉवर») नाम से प्रकाशित हुई और इसके साथ एक मुद्रित निर्देश शामिल था, जिसमें इसके पौराणिक उद्गम को लोकप्रिय रूप में समझाया गया था। सेट में एक लकड़ी का आधार था जिसमें तीन ऊर्ध्वाधर खूँटे और आठ विभिन्न आकार के छेद वाले चक्र शामिल थे। आठ चक्रों का चयन स्वयं एडुआर्ड लुकास ने किया था: यह संख्या खेल को चुनौतीपूर्ण बनाने के लिए पर्याप्त जटिल लगती थी, लेकिन फिर भी हल करने योग्य थी।

हर सेट के साथ एक छोटा पुस्तिका दिया जाता था, जिसमें सोने के चक्रों के टॉवर की किंवदंती सुनाई जाती थी। इस साहित्यिक तत्व ने पहेली को एक विशेष रहस्यमय आभा दी और इसे मात्र एक गणितीय समस्या से अधिक बना दिया। संरचना की सादगी और आकर्षक किंवदंती के सफल संयोजन के कारण, खेल तुरंत अन्य मनोरंजनों से अलग दिखाई दिया और जनता में गहरी रुचि उत्पन्न की।

1884–1885 में Tower of Hanoi का विवरण और चित्र लोकप्रिय पत्रिकाओं में आने लगे। उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी पत्रिका La Nature ने «ब्रह्मा का टॉवर» की किंवदंती का एक संस्करण प्रकाशित किया, जिसमें नई पहेली को एक पूर्वी मिथक का हिस्सा बताया गया। उसी वर्ष अमेरिकी पत्रिका Popular Science Monthly में एक नोट प्रकाशित हुआ जिसमें एक चित्र शामिल था, जिसमें समस्या को हल करने की प्रक्रिया दिखाई गई थी। इन प्रकाशनों ने फ्रांस के बाहर खेल के प्रसार में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई: प्रेस की बदौलत यह यूरोप और अमेरिका में प्रसिद्ध हुआ, और इस प्रकार Tower of Hanoi ने एक क्लासिक पहेली के रूप में अपनी स्थिति को मजबूत किया, जो वैज्ञानिकों और आम जनता दोनों के लिए ध्यान देने योग्य थी।

ब्रह्मा के टॉवर की किंवदंती

इस पहेली की सफलता का मुख्य तत्व वह किंवदंती थी जिसे लुकास ने स्वयं गढ़ा था या संभवतः किसी प्राचीन कथा से प्रेरित होकर बनाई थी। इस कहानी में घटना भारत के एक ब्रह्मा मंदिर (कभी-कभी विवरणों में — एक मठ) में होती है, जहाँ भिक्षु या पुजारी एक शाश्वत कार्य में लगे रहते हैं: 64 चक्रों को स्थानांतरित करना, जो तीन हीरे के खंभों पर पिरोए गए होते हैं। परंपरा के अनुसार, ये चक्र शुद्ध सोने से बने थे और स्वयं देवता ने ब्रह्मांड की रचना के क्षण में उन्हें स्थापित किया था। पुजारियों का कार्य कठोर और अपरिवर्तनीय था — एक समय में केवल एक चक्र को स्थानांतरित करना और कभी भी बड़े चक्र को छोटे पर न रखना।

किंवदंती के अनुसार, जब सभी 64 चक्र एक खंभे से दूसरे खंभे पर स्थानांतरित कर दिए जाएँगे, तो दुनिया का अस्तित्व समाप्त हो जाएगा। विभिन्न संस्करणों में, घटनास्थल कभी वियतनाम के हनोई शहर में और कभी भारत के बनारस के एक मंदिर में रखा गया है। इसी कारण से, यह खेल कभी «हनोई का टॉवर» और कभी «ब्रह्मा का टॉवर» कहलाता है। कभी-कभी कहा जाता है कि भिक्षु दिन में केवल एक ही चाल चलते हैं, जबकि अन्य संस्करणों में कहा जाता है कि उनका कार्य समय से बंधा नहीं है।

लेकिन अगर हम सबसे तेज़ परिदृश्य की कल्पना करें — हर सेकंड एक चाल — तो मानवता को चिंतित होने की आवश्यकता नहीं है: समस्या को पूरा करने के लिए 2^64 – 1 चालें आवश्यक होंगी, जो लगभग 585 अरब वर्षों के बराबर है। यह अवधि आधुनिक विज्ञान द्वारा ज्ञात ब्रह्मांड की आयु से दर्जनों गुना अधिक है। इस प्रकार, किंवदंती ने न केवल पहेली को एक नाटकीय पहलू दिया बल्कि इसमें एक सुंदर हास्य भी शामिल किया: इसने यह उजागर किया कि समस्या अत्यधिक कठिन है, लेकिन साथ ही गणितज्ञों और पहेली प्रेमियों को एक सुंदर कहानी के भीतर «दुनिया के अंत की गणना» करने का अवसर भी प्रदान किया।

प्रसार और विकास

Tower of Hanoi ने तेजी से यूरोप में लोकप्रियता हासिल कर ली। उन्नीसवीं शताब्दी के अंत तक यह खेल न केवल फ्रांस में बल्कि इंग्लैंड और उत्तरी अमेरिका में भी जाना जाता था। 1889 में एडुआर्ड लुकास ने इस पहेली का वर्णन करते हुए एक अलग पुस्तिका प्रकाशित की, और 1891 में उनकी मृत्यु के बाद यह समस्या उनकी प्रसिद्ध कृति «Récréations mathématiques» के मरणोपरांत खंड में शामिल की गई। इस प्रकाशन की बदौलत Tower of Hanoi अंततः मनोरंजक गणित की शास्त्रीय विरासत का हिस्सा बन गया।

लगभग उसी समय यह पहेली अलग-अलग नामों से फैलने लगी: «ब्रह्मा का टॉवर», «लुकास का टॉवर» और अन्य — देश और प्रकाशक के आधार पर। विभिन्न देशों में खिलौना निर्माताओं ने अपने-अपने संस्करण जारी किए, क्योंकि लुकास ने इस आविष्कार का पेटेंट नहीं कराया था और संरचना को स्वतंत्र रूप से कॉपी किया जा सकता था। इंग्लैंड में बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में, उदाहरण के लिए, The Brahma Puzzle नाम से संस्करण प्रकाशित हुए। कुछ संरक्षित प्रतियाँ जानी जाती हैं, जो लगभग 1910–1920 के आसपास लंदन में कंपनी R. Journet द्वारा प्रकाशित की गई थीं, जिनके डिब्बे पर पुजारियों और 64 स्वर्ण चक्रों की कथा छपी थी।

संयुक्त राज्य अमेरिका में Tower of Hanoi लोकप्रिय «वैज्ञानिक खिलौनों» के संग्रह का हिस्सा बन गया और जल्दी ही अन्य प्रसिद्ध तार्किक मनोरंजनों के साथ अपनी जगह बना ली। सरल संरचना — तीन खूँटे और चक्रों का एक सेट — खेल को आसानी से पुनरुत्पादित करने योग्य बनाती थी, जबकि किंवदंती के विभिन्न रूपों ने इसे और भी आकर्षक बना दिया। बीसवीं शताब्दी के पहले दशकों में, यह पहेली हजारों प्रतियों में फैली और 15-पज़ल और बाद में रुबिक क्यूब जैसे क्लासिक खेलों के साथ अपनी जगह बना ली (हालाँकि निश्चित रूप से Tower of Hanoi रुबिक क्यूब से बहुत पहले आया था)।

नियमों की स्थिरता और वैज्ञानिक महत्व

Tower of Hanoi के प्रकट होने के बाद से इसके नियम लगभग अपरिवर्तित रहे हैं। मूल सिद्धांत — चक्रों को एक-एक करके स्थानांतरित करना और कभी भी बड़े चक्र को छोटे पर न रखना — बिल्कुल वैसे ही हैं जैसे एडुआर्ड लुकास ने 1883 में निर्धारित किए थे। नियमों की यह स्थिरता प्रारंभिक संरचना की पूर्णता को दर्शाती है।

हालाँकि, समय के साथ खेल का महत्व बदल गया: यह केवल एक सुंदर मनोरंजन नहीं रहा बल्कि ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों के लिए एक उपकरण बन गया। गणितज्ञों ने न्यूनतम चालों की नियमितता पर ध्यान दिया: क्रम 1, 3, 7, 15, 31 आदि। यह प्रगति द्विपद संबंधों और द्विआधारी संख्या प्रणाली से जुड़ी थी, और समस्या की संरचना ने तार्किक खेलों और गणित की सैद्धांतिक नींव के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया।

कंप्यूटर विज्ञान में Tower of Hanoi पुनरावृत्ति (recursion) का एक शास्त्रीय उदाहरण बन गया — एक ऐसी विधि जिसमें समस्या को छोटे लेकिन समान उप-समस्याओं में विभाजित किया जाता है। बीसवीं शताब्दी के दूसरे भाग में, यह पहेली प्रोग्रामिंग के शैक्षिक पाठ्यक्रमों में शामिल की गई: छात्र इसकी मदद से पुनरावर्ती एल्गोरिदम लिखना सीखते और देखते कि किस प्रकार एक जटिल समस्या का सुंदर विभाजन एक सरल और आकर्षक समाधान की ओर ले जाता है।

समय के साथ यह खेल मनोविज्ञान में भी उपयोग होने लगा। «Tower of Hanoi परीक्षण» का उपयोग व्यक्ति की संज्ञानात्मक क्षमताओं, क्रियाओं की योजना बनाने की क्षमता और चरणों के क्रम को स्मृति में बनाए रखने की योग्यता का आकलन करने के लिए किया जाता है। ऐसे कार्यों का उपयोग मस्तिष्क की चोटों के परिणामों के निदान में, उम्र से संबंधित संज्ञानात्मक विकारों के अध्ययन में और मस्तिष्क के ललाट खंडों के कामकाज के अनुसंधान में किया जाता है।

परिणामस्वरूप, Tower of Hanoi कब का उन्नीसवीं शताब्दी के सैलून मनोरंजन की सीमाओं से परे जा चुका है। आज इसे एक सार्वभौमिक उपकरण माना जाता है — शैक्षिक, वैज्ञानिक और नैदानिक। तीन खूँटों और चक्रों के सेट के साथ इसकी सरल आकृति कई अनुसंधानों का आधार बन चुकी है, जबकि खेल स्वयं तार्किक पहेलियों के शौकीनों और गणित, कंप्यूटर विज्ञान और मनोविज्ञान के पेशेवरों के लिए अपनी आकर्षण बनाए हुए है।

लोकप्रियता का भूगोल

Tower of Hanoi का नाम सीधे वियतनाम की राजधानी हनोई से जुड़ा हुआ है, हालाँकि स्वयं यह पहेली किसी वास्तविक पूर्वी जड़ से संबंधित नहीं है और उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में पूरी तरह से फ्रांस में आविष्कार की गई थी। फिर भी, किंवदंती की विदेशी छवि अत्यंत सफल साबित हुई: इसने खेल को रहस्य प्रदान किया और इसके व्यापक प्रसार में मदद की। इसी कारण से, विभिन्न देशों में यह हनोई से जुड़े नाम से जाना गया: अंग्रेज़ी भाषी दुनिया में — Tower of Hanoi, फ्रांस में — Tour d’Hanoï, जर्मनी में — Türme von Hanoi आदि।

सोवियत संघ में यह पहेली कम से कम 1960 के दशक तक जानी जाती थी: इसे रोचक समस्याओं के संग्रहों और मनोरंजक गणित की पुस्तकों में शामिल किया गया। कई पीढ़ियों के छात्रों के लिए Tower of Hanoi एक परिचित क्लासिक बन गया और बाद में इसके कंप्यूटर संस्करण भी सामने आए।

दिलचस्प है कि वियतनाम में, हालाँकि किसी समान प्राचीन पहेली का कोई ऐतिहासिक प्रमाण नहीं है, यह खेल वहाँ भी फैल गया और अनुवाद में जाना जाने लगा। इस प्रकार, यह उस देश में लौट आया जिसका नाम किंवदंती में इस्तेमाल किया गया था, लेकिन इस बार एक यूरोपीय आविष्कार के रूप में।

आज Tower of Hanoi की लोकप्रियता का भूगोल लगभग पूरी दुनिया में फैला हुआ है। इसे किंडरगार्टन में पाया जा सकता है, जहाँ छोटे बच्चे रंगीन प्लास्टिक की अंगूठियाँ स्थानांतरित करके अभ्यास करते हैं, और विश्वविद्यालय के कक्षाओं में, जहाँ कंप्यूटर विज्ञान के छात्र इस समस्या को एक पुनरावर्ती एल्गोरिदम के उदाहरण के रूप में प्रोग्राम करते हैं। सरल तैयारी — कुछ लकड़ी की पट्टियाँ और चक्रों का एक सेट — और नियमों की सार्वभौमिकता ने इस पहेली को वास्तव में एक वैश्विक धरोहर बना दिया है, जिसे हर संस्कृति में समान रूप से पहचाना और पसंद किया जाता है।

Tower of Hanoi का इतिहास विवरणों से भरपूर है, लेकिन इसके साथ जुड़े दुर्लभ प्रसंग और कथाएँ भी उतनी ही रोचक हैं, जिन्होंने इसे एक विशेष रंग दिया।

Tower of Hanoi के बारे में रोचक तथ्य

• चक्रों की संख्या का रिकॉर्ड। संग्रहालयों और निजी संग्रहों में Tower of Hanoi के विशाल संस्करण मिलते हैं जिनमें तीस या उससे भी अधिक चक्र शामिल होते हैं। ऐसी समस्या के लिए न्यूनतम चालों की संख्या एक अरब से अधिक होती है, इसलिए इसे हाथ से हल करना लगभग असंभव है। ऐसे सेट खेलने के लिए नहीं बल्कि शानदार प्रदर्शनों के रूप में बनाए गए थे, जो इस पहेली की अनंत जटिलता और गणितीय गहराई को उजागर करते हैं।
• लोकप्रिय संस्कृति में टॉवर। Tower of Hanoi कई बार साहित्य, सिनेमा और टीवी धारावाहिकों में दिखाई दिया है। अमेरिकी लेखक एरिक फ्रैंक रसेल (Eric Frank Russell) की प्रसिद्ध विज्ञान-कथा कहानी «Now Inhale» (1959) में, मुख्य पात्र, जो एलियंस द्वारा फाँसी की प्रतीक्षा कर रहा है, Tower of Hanoi खेल को अपनी «अंतिम इच्छा» के रूप में चुनता है। वह यह जानबूझकर करता है, समस्या की किंवदंतीपूर्ण अनंतता से अवगत होकर। प्रतिस्पर्धी तत्व जोड़ने के लिए, एलियंस इस पहेली को एक द्वंद्व में बदल देते हैं: दो खिलाड़ी बारी-बारी से चाल चलते हैं, और विजेता वह होता है जो अंतिम चाल करता है। 64 चक्रों वाले टॉवर का चयन करके, नायक वास्तव में अपने लिए असीमित स्थगन सुनिश्चित करता है। आधुनिक सिनेमा में भी यह खेल दिखाई देता है। फिल्म «Rise of the Planet of the Apes» (2011) में Tower of Hanoi का उपयोग आनुवंशिक रूप से संशोधित बंदरों के लिए बुद्धिमत्ता परीक्षण के रूप में किया जाता है: उनमें से एक बीस चालों में चार अंगूठियों वाला टॉवर बनाता है। हालाँकि यह न्यूनतम संभव संख्या (15 चालें) से अधिक है, दृश्य जानवरों की मानसिक क्षमताओं और समस्या की जटिलता को स्पष्ट रूप से दर्शाता है। क्लासिक ब्रिटिश श्रृंखला «Doctor Who» ने भी इस पहेली को शामिल किया। «The Celestial Toymaker» (1966) एपिसोड में डॉक्टर को दस चक्रों वाला Tower of Hanoi हल करने के लिए कहा गया। परीक्षा की शर्त अत्यंत कठोर थी: उसे बिल्कुल 1023 चालें चलनी थीं — न ज्यादा, न कम। यह संख्या संयोगवश नहीं चुनी गई थी: 1023 दस चक्रों वाली समस्या के लिए न्यूनतम संभव चालों की संख्या है। इस प्रकार, नायक को पूरा मार्ग बिना किसी गलती के तय करना था, जिसने एक बार फिर Tower of Hanoi की प्रतिष्ठा को एक लगभग असंभव चुनौती के रूप में मजबूत किया, यहाँ तक कि समय-यात्री प्रतिभा के लिए भी।
• वीडियो गेम्स में उपस्थिति। दिलचस्प है कि Tower of Hanoi एक प्रकार का «पहेली का मानक» बन गया और वीडियो गेम्स की दुनिया में प्रवेश कर गया। कनाडाई स्टूडियो BioWare इस बात के लिए जाना जाता है कि उसने अपने कई प्रोजेक्ट्स में Tower of Hanoi पर आधारित मिनी-गेम शामिल किया है। उदाहरण के लिए, रोल-प्लेइंग गेम Jade Empire में एक मिशन है जहाँ खिलाड़ी को खंभों पर अंगूठियाँ स्थानांतरित करनी होती हैं, और इसी तरह की पहेलियाँ प्रसिद्ध श्रृंखलाओं Star Wars: Knights of the Old Republic, Mass Effect और Dragon Age: Inquisition में भी दिखाई देती हैं। ये दृश्य अक्सर प्राचीन तंत्र या परीक्षाओं के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, जिनमें नायक से चतुराई की आवश्यकता होती है। यह पहेली क्लासिक एडवेंचर गेम्स में भी मिलती है, जैसे The Legend of Kyrandia: Hand of Fate में, जहाँ एक रहस्यमय यंत्र वास्तव में Tower of Hanoi ही है जो एक जादुई अनुष्ठान के रूप में छिपा हुआ है। इस तरह की उपस्थितियाँ Tower of Hanoi की छवि को एक सार्वभौमिक तार्किक पहेली के प्रतीक के रूप में मजबूत करती हैं।
• शैक्षिक पहलू। किंवदंतियों और मनोरंजन से परे, Tower of Hanoi ने विज्ञान में भी अपनी छाप छोड़ी है। 2013 में वैज्ञानिकों ने «The Tower of Hanoi: Myths and Maths» (Hinz et al.) नामक एक मोनोग्राफ प्रकाशित की, जिसमें इस पहेली और इसके विभिन्न रूपों के गणितीय गुणों का विस्तार से अध्ययन किया गया। यह पता चला कि इसके चारों ओर «Tower of Hanoi ग्राफ» का एक पूरा सिद्धांत विकसित किया गया है, जो सिरपिंस्की फ्रैक्टल और गणित के अन्य क्षेत्रों से जुड़ा हुआ है। संज्ञानात्मक मनोविज्ञान में «Tower of Hanoi परीक्षण» मौजूद है, जिसके माध्यम से मस्तिष्क के कार्यकारी कार्यों — योजना बनाने और जटिल नियमों का पालन करने की क्षमता — की जाँच की जाती है। चिकित्सा में, इस परीक्षण का उपयोग मस्तिष्क की चोटों के बाद रोगियों की पुनर्वास की डिग्री का आकलन करने के लिए किया जाता है: समस्या को हल करने की क्षमता ललाट खंडों के कार्य और नए तंत्रिका संबंधों के गठन का संकेतक होती है। इस प्रकार, एक खेल जो कभी एक मनोरंजक खिलौने के रूप में बेचा जाता था, आज गंभीर अनुसंधान का विषय और यहाँ तक कि पुनर्वास में सहायक भी बन गया है।

Tower of Hanoi का इतिहास एक शानदार उदाहरण है कि कैसे एक सुंदर गणितीय विचार एक सांस्कृतिक घटना में बदल सकता है। यह पहेली मनोरंजन और विज्ञान के संगम पर पैदा हुई, मिथकों और प्रतीकों में लिपटी, लेकिन अपनी मुख्य आकर्षण — शुद्ध तार्किक सुंदरता — को नहीं खोई। उन्नीसवीं शताब्दी के अंत के पेरिस के सैलून से लेकर आधुनिक कक्षाओं और डिजिटल अनुप्रयोगों तक, Tower of Hanoi ने अपनी स्थिति एक बौद्धिक क्लासिक के रूप में बनाए रखी है। यह हमें पुनरावर्ती सोच की शक्ति पर विचार करने पर मजबूर करती है, धैर्य और सटीक योजना सिखाती है। इसकी कहानी से परिचित होकर, इस छोटे से चक्रों के टॉवर के प्रति स्वतः ही सम्मान जागृत होता है — जो समाधानों की अनंत खोज का प्रतीक है।

क्या आप स्वयं को उस पुजारी की तरह महसूस करना चाहते हैं जो दुनिया की किस्मत अपने हाथों में रखता है, या केवल अपनी तार्किक सोच को परखना चाहते हैं? दूसरे भाग में हम बताएँगे कि Tower of Hanoi कैसे खेला जाता है, नियमों को विस्तार से देखेंगे और इस पौराणिक पहेली को हल करने के लिए सुझाव साझा करेंगे। इसकी कहानी को समझना आपको खेल सीखने में प्रेरणा देगा — आगे आपके सामने एक दिलचस्प बौद्धिक चुनौती है।

इस पहेली ने न केवल किंवदंती की वजह से बल्कि अपनी रोचक यांत्रिकी की वजह से भी विश्व प्रसिद्धि प्राप्त की है। आगे हम विस्तार से बताएँगे कि Tower of Hanoi कैसे खेला जाता है और कुछ रणनीतिक चालों का खुलासा करेंगे। इस समस्या को हल करने की कोशिश करें — संभव है कि इसका हल करने की प्रक्रिया आपको इसके निर्माण की कहानी जितना ही आकर्षक लगे।

Tower of Hanoi — एकल खिलाड़ी के लिए एक तर्कपूर्ण टेबल गेम है (या दो खिलाड़ियों के लिए प्रतिस्पर्धात्मक रूप से, यदि गति पर हल किया जाए)। क्लासिक सेट में एक आधार होता है जिस पर तीन ऊर्ध्वाधर डंडे लगे होते हैं और अलग-अलग व्यास वाले डिस्कों का एक सेट शामिल होता है (आधुनिक संस्करणों में आमतौर पर 5 से 8 तक होते हैं)। शुरू में सभी डिस्क बाएँ डंडे पर रखी जाती हैं, एक पिरामिड बनाते हुए जहाँ प्रत्येक बड़ी डिस्क छोटी के नीचे होती है।

खेल का उद्देश्य — पूरे पिरामिड को किसी अन्य डंडे पर ले जाना है (अक्सर निर्दिष्ट किया जाता है कि दाएँ वाले डंडे पर) न्यूनतम चालों में। खेल समय से सीमित नहीं है: इसकी अवधि डिस्कों की संख्या और खिलाड़ी के अनुभव पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, तीन डिस्क की समस्या कुछ मिनटों में हल हो जाती है, जबकि आठ डिस्कों को स्थानांतरित करने में पंद्रह मिनट तक का एकाग्र कार्य लग सकता है। Tower of Hanoi तार्किक सोच, ध्यान और धैर्य को विकसित करता है, इसलिए यह बच्चों और वयस्कों दोनों के बीच समान रूप से लोकप्रिय है।

पहली नज़र में Tower of Hanoi एक सरल कार्य लगता है, लेकिन इसकी बाहरी सादगी के पीछे कड़ा तर्क छिपा है। नियमों के अनुसार पिरामिड को स्थानांतरित करते हुए, खिलाड़ी व्यवहार में पुनरावृत्ति के सिद्धांत को सीखता है: एक बड़ा लक्ष्य तभी प्राप्त किया जा सकता है जब उसे छोटे चरणों के क्रम में विभाजित किया जाए। ऐसी संरचना कार्यों की योजना बनाने और ध्यान केंद्रित करने की क्षमता को विकसित करती है, और खेल को समाप्त करना एक स्पष्ट रूप से व्यवस्थित समाधान से विशेष संतोष प्रदान करता है।

Tower of Hanoi के नियम: कैसे खेलें

खेल का उद्देश्य

खिलाड़ी का कार्य यह है कि पूरे टॉवर — डिस्कों का ढेर — को प्रारंभिक डंडे से किसी अन्य पर ले जाए। इस दौरान प्रारंभिक क्रम को बनाए रखना आवश्यक है: लक्ष्य डंडे पर डिस्कों को एक सही पिरामिड बनाना चाहिए, जहाँ प्रत्येक बड़ा तत्व छोटे के नीचे हो। दूसरे शब्दों में, परिणाम को पूरी तरह से प्रारंभिक संरचना को पुनः निर्मित करना चाहिए, लेकिन एक नए आधार पर।

उपकरण

खेल के लिए एक आधार का उपयोग किया जाता है जिस पर तीन ऊर्ध्वाधर डंडे होते हैं, जिन्हें प्रायः A, B और C के रूप में चिन्हित किया जाता है। इसके अतिरिक्त, अलग-अलग व्यास वाले n डिस्कों का एक सेट आवश्यक है (n ≥ 3; क्लासिक संस्करण में — 8)। सभी डिस्कों में छेद होते हैं और उन्हें डंडों के बीच स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित किया जा सकता है। खेल की शुरुआत में वे डंडे A पर होते हैं और एक पिरामिड बनाते हैं: सबसे बड़ी डिस्क नीचे होती है और ऊपर की ओर क्रमशः छोटी रखी जाती हैं।

चालों के नियम

• डिस्क का स्थानांतरण। प्रत्येक चाल में चुने गए डंडे से एक ऊपरी डिस्क को हटाकर किसी अन्य पर रखना शामिल होता है। डिस्क हमेशा ढेर के शीर्ष से ली जाती है, इसलिए निचले तत्व तब तक स्थिर रहते हैं जब तक वे मुक्त न हों। एक साथ कई डिस्कों को स्थानांतरित करना वर्जित है: खेल लगातार चरणों पर आधारित है, जहाँ पूरी संरचना धीरे-धीरे पुनः बनाई जाती है।
• आकार की सीमा। छोटी डिस्क पर बड़ी नहीं रखी जा सकती। यह नियम पिरामिड की संरचना को बनाए रखता है: प्रत्येक डंडे पर डिस्कों को ऊपर से नीचे तक आकार बढ़ते क्रम में होना चाहिए — सबसे छोटी से सबसे बड़ी तक। स्थानांतरित करते समय डिस्क को या तो खाली डंडे पर रखा जा सकता है या बड़े व्यास वाली डिस्क पर, इस प्रकार सही क्रम बना रहता है। इस शर्त का उल्लंघन करने से चाल अमान्य हो जाती है।
• लक्ष्य डंडा। क्लासिक संस्करण में लक्ष्य यह है कि पूरे पिरामिड को बाएँ डंडे A से दाएँ डंडे C पर ले जाया जाए, और मध्य डंडा B सहायक के रूप में उपयोग किया जाए। यह शर्त दिशा निर्धारित करती है और कार्य को स्पष्ट बनाती है। हालाँकि, सामान्य रूप से टॉवर को किसी भी दो खाली डंडों में ले जाया जा सकता है: यदि शुरुआत में यह निर्दिष्ट नहीं है कि कौन सा लक्ष्य है, तो परिणाम समान होगा — महत्वपूर्ण यह है कि नई जगह पर पिरामिड को सही ढंग से पुनः बनाया जाए।

खेल की प्रक्रिया

खिलाड़ी नियमों के अनुसार क्रमिक रूप से स्थानांतरण करता है। पहली चाल हमेशा सबसे छोटी डिस्क हटाना है — शुरुआत में केवल वही खाली होती है। इसे मध्य या दाएँ डंडे पर ले जाया जा सकता है। आगे का विकास किए गए चुनाव पर निर्भर करता है। खेल तब तक चलता है जब तक पूरा पिरामिड लक्ष्य डंडे पर इकट्ठा न हो जाए।

समाप्ति

खेल को हल किया हुआ माना जाता है जब पूरा टॉवर पूरी तरह से लक्ष्य डंडे पर स्थानांतरित हो जाता है और प्रारंभिक क्रम में पुनः निर्मित हो जाता है: नीचे सबसे बड़ी डिस्क और ऊपर सबसे छोटी। अंतिम संरचना को पूरी तरह से प्रारंभिक पिरामिड के अनुरूप होना चाहिए, लेकिन नई जगह पर।

न्यूनतम चालों की संख्या

सैद्धांतिक रूप से सिद्ध किया गया है कि n डिस्कों वाले Tower of Hanoi को हल करने के लिए न्यूनतम चालों की संख्या 2^n − 1 होती है। छोटे मानों के लिए इसे आसानी से जाँचा जा सकता है: तीन डिस्कों के लिए — 7 चालें, चार के लिए — 15, पाँच के लिए — 31। उदाहरण के लिए, आठ डिस्कों के लिए 255 चालें आवश्यक हैं, और दस के लिए — पहले से ही 1023। सर्वोत्तम रणनीति से कोई भी विचलन चालों की संख्या बढ़ा देता है, इसलिए अनुभवी खिलाड़ी न्यूनतम मार्ग का पालन करने का प्रयास करते हैं।

नियमों के विविध रूप

क्लासिक संस्करण में तीन डंडे होते हैं और डिस्क को स्वतंत्र रूप से किसी भी अन्य पर ले जाया जा सकता है। हालाँकि, कुछ स्वीकृत जटिलताएँ और संशोधन मौजूद हैं।

• अतिरिक्त डंडों के साथ। चौथा या पाँचवाँ डंडा जोड़ने से स्थानांतरण के लिए नए एल्गोरिद्म खोजने की आवश्यकता होती है। यह ज्ञात है कि चार डंडों पर न्यूनतम चालों की संख्या तीन के मुकाबले कम होती है (इस संस्करण को Reve’s Puzzle कहा जाता है)। जैसे, आठ डिस्कों को 129 चालों में ले जाया जा सकता है बजाय 255 के। किसी भी संख्या के डंडों के लिए कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है: Frame–Stewart परिकल्पना को मार्गदर्शन के रूप में इस्तेमाल किया जाता है, जो सात दशकों से अधिक समय से अप्रमाणित है।
• चक्राकार टॉवर। इस संस्करण में डंडे एक वृत्त में व्यवस्थित होते हैं, और डिस्कों को केवल एक ही दिशा में (जैसे, घड़ी की दिशा में) स्थानांतरित किया जा सकता है, किसी मध्यवर्ती डंडे पर «कूदे» बिना। इस प्रकार A डंडे से डिस्क केवल B डंडे पर ले जाई जा सकती है, B से C पर और इसी तरह। यह प्रतिबंध रणनीति को काफी कठिन बना देता है और चालों की संख्या बढ़ा देता है, हालाँकि पुनरावृत्ति का तर्क समाधान का आधार बना रहता है।
• जादुई त्रिकोण। एक और संस्करण जिसमें तीन डंडे त्रिभुज की चोटियों पर रखे जाते हैं। वही नियम लागू होते हैं (एक समय में एक डिस्क, बड़ी को छोटी पर नहीं रखना), लेकिन एक अतिरिक्त शर्त जोड़ी जाती है: सबसे छोटी डिस्क केवल घड़ी की दिशा में चलती है, और बाकी सभी विपरीत दिशा में। यह संस्करण वस्तुतः चक्राकार टॉवर का संबंधी है और बाइनरी Gray कोड (Frank Gray) के उपयोग से जुड़ा हुआ है: डिस्कों को स्थानांतरित करने का क्रम उन कोडों से मेल खाता है जो अतिरिक्त चरणों के बिना व्यवस्थित होते हैं।

विभिन्नताओं के बावजूद — अतिरिक्त डंडे, वृत्ताकार व्यवस्था या गति की दिशा पर प्रतिबंध — मुख्य विचार वही रहता है: समस्या की संरचना नहीं बदलती। यह लुकास की योजना की सार्वभौमिकता को स्पष्ट रूप से दर्शाता है: इसे बदला और जटिल किया जा सकता है, लेकिन मूल तर्क पारदर्शी और अपरिवर्तित रहता है।

नए खिलाड़ियों के लिए Tower of Hanoi सुझाव

मूल नियमों को समझने के बाद, स्वाभाविक रूप से अपनी शक्ति आज़माने की इच्छा पैदा होती है कि Tower of Hanoi को स्वयं हल करें। ताकि शुरुआती कदम सार्थक हों, परीक्षित तरीकों पर भरोसा करना उपयोगी है। नीचे व्यावहारिक सुझाव दिए गए हैं — सरल रणनीतियों से, जो जल्दी से बुनियादी विधि सीखने देती हैं, उन सूक्ष्म तकनीकों तक, जो सामान्य गलतियों से बचने और अपनी कौशल को बढ़ाने में मदद करती हैं।

रणनीतिक दृष्टिकोण

रणनीतिक तरीके Tower of Hanoi के समाधान को चरणों की एक समझने योग्य प्रणाली में बदल देते हैं। चाहे समस्या कितनी भी जटिल लगे, सही रणनीति इसे सरल कार्यों की एक श्रृंखला में बदल देती है। नीचे मुख्य तरीके बताए गए हैं जो खेल को संगठित करने और न्यूनतम चालों के करीब जाने में मदद करते हैं।

• «बड़ी डिस्क को मुक्त करो» एल्गोरिद्म। पहेली का मुख्य तत्व सबसे बड़ी डिस्क है। जब तक ऊपर की सभी डिस्कें हटाई न जाएँ, इसे स्थानांतरित नहीं किया जा सकता। इसलिए समाधान हमेशा दो चरणों में बनता है: पहले n − 1 छोटी डिस्कों को हटाकर अस्थायी रूप से सहायक डंडे पर रखा जाता है, फिर सबसे बड़ी डिस्क को लक्ष्य पर ले जाया जाता है, और उसके बाद n − 1 डिस्कों को फिर से उस पर जमा दिया जाता है। यह तकनीक पुनरावृत्ति की नींव है: n डिस्कों वाले टॉवर को स्थानांतरित करने के लिए पहले n − 1 डिस्कों के लिए वही समस्या हल करनी होती है। व्यवहार में इसका मतलब है कि हर चरण में खिलाड़ी का ध्यान सबसे बड़े तत्व के लिए रास्ता साफ करने पर केंद्रित होना चाहिए।
• सबसे छोटी डिस्क की भूमिका। सबसे छोटी डिस्क सबसे अधिक गतिशील होती है और वास्तव में पूरे खेल की गति निर्धारित करती है। एक रणनीति है जिसमें यह प्रत्येक दूसरी चाल में चलती है, अन्य डिस्कों के साथ बारी-बारी से। विषम संख्या की डिस्कों में पहली चाल हमेशा लक्ष्य डंडे पर होती है (A → C), सम संख्या में — सहायक डंडे पर (A → B)। इसके बाद छोटी डिस्क वृत्ताकार रूप से चलती है: विषम n में — घड़ी की दिशा में (A → C → B → A ...), सम n में — विपरीत दिशा में (A → B → C → A ...)। यह नियमित पैटर्न आधी चालों को स्वचालित करता है और प्रक्रिया को पूर्वानुमेय बनाता है।
• एकमात्र संभव चाल। प्रत्येक छोटी डिस्क की चाल के बाद हमेशा एक निश्चित अगली चाल होती है: बाकी डिस्कों में से उस समय केवल एक को नियमों का उल्लंघन किए बिना स्थानांतरित किया जा सकता है। इसका मतलब है कि रणनीति बारी-बारी से होती है: «छोटी डिस्क → एकमात्र अनुमत बड़ी डिस्क → छोटी → बड़ी एकमात्र...»। ऐसा एल्गोरिद्म समस्या को न्यूनतम चालों में हल करने की गारंटी देता है और शुरुआती खिलाड़ियों को भी गलतियों से बचाता है।

शुरुआती खिलाड़ियों की गलतियाँ

नियम जानने के बावजूद, नए खिलाड़ी अक्सर वही गलतियाँ करते हैं। ये गलतियाँ समस्या को असंभव नहीं बनातीं, लेकिन चालों की संख्या को काफी बढ़ा देती हैं और समाधान को अव्यवस्थित बना देती हैं। सामान्य गलतियों को समझना यह जानने में आसान बनाता है कि किनसे बचना है और अधिक प्रभावी रणनीति कैसे बनानी है।

• योजना के बिना यादृच्छिक चालें। एक आम गलती यह है कि डिस्कों को बिना किसी सामान्य रणनीति के यादृच्छिक रूप से हिलाया जाए। 3–4 डिस्क पर यह तरीका काम कर सकता है, लेकिन 5–6 पर यह चक्र में फँसा देता है। बेहतर है कि सीधे एल्गोरिद्म का पालन करें: बड़ी डिस्क को मुक्त करो, उसे ले जाओ और पिरामिड को पुनः बनाओ। सोची-समझी रणनीति अतिरिक्त चालों को रोकती है और समय बचाती है।
• आकार के नियम का उल्लंघन। नए खिलाड़ी कभी-कभी बड़ी डिस्क को छोटी पर रखने की कोशिश करते हैं। वास्तविक सेट में यह कदम शारीरिक रूप से संभव है, लेकिन यह नियमों का उल्लंघन करता है और डिस्कों की व्यवस्था को गलत बना देता है। डिजिटल संस्करणों में आमतौर पर ऐसे कार्यों को प्रोग्राम द्वारा रोका जाता है। हमेशा सुनिश्चित करें कि डिस्क या तो खाली डंडे पर रखी जा रही है या बड़ी डिस्क पर।
• पूरे टॉवर को अलग करने का प्रयास। नए खिलाड़ी कभी-कभी सभी डिस्कों को खाली डंडों पर «उतारने» की कोशिश करते हैं, यह सोचकर कि फिर लक्ष्य पर पिरामिड बनाना आसान होगा। खेल इसकी अनुमति नहीं देता: एक डंडा अनिवार्य रूप से भरा रहता है और चालों को रोकता है। प्रभावी तरीका चरण-दर-चरण स्थानांतरण है: कुछ डिस्कों को सहायक डंडे पर रखो, बड़ी डिस्क ले जाओ, फिर छोटी को वापस लाओ।
• जल्दबाज़ी और असावधानी। Tower of Hanoi एक धीमी गति का खेल है। जल्दबाज़ी से आवश्यक कदम छूट जाते हैं और चालों की संख्या बढ़ जाती है। खासकर शुरुआती चरणों में, बेहतर है कि समान गति बनाए रखी जाए, तीनों डंडों की स्थिति पर ध्यान दिया जाए और प्रत्येक चाल के परिणाम को पहले से सोचा जाए; इस तरह न्यूनतम समाधान प्राप्त करना आसान होता है।

उन्नत खिलाड़ियों के लिए रणनीतियाँ

जब बुनियादी तकनीकें सीख ली जाती हैं और क्लासिक टॉवर को हल करना कठिन नहीं रह जाता, तो अधिक जटिल दृष्टिकोण आज़माने की इच्छा पैदा होती है। उन्नत रणनीतियाँ सरल खेल के पीछे गहरी गणितीय संरचना को देखने में मदद करती हैं, पुनरावृत्ति की समझ को विस्तारित करती हैं और अधिक डिस्कों या जटिल संस्करणों के साथ समस्याओं पर काम करने की अनुमति देती हैं। नीचे कुछ तकनीकें दी गई हैं जो रणनीतिक सोच को विकसित करती हैं और खेल को एक वास्तविक मानसिक चुनौती बना देती हैं।

• पुनरावृत्ति आधारित सोच। 5–6 डिस्कों वाले क्लासिक टॉवर में महारत हासिल करने के बाद, बड़े n के लिए जानबूझकर पुनरावृत्तिमूलक दृष्टिकोण अपनाने का प्रयास करें। समस्या को चरणों में विभाजित करें: ऊपर की k डिस्कों को सहायक डंडे पर ले जाएँ, (n − k)-वीं डिस्क को लक्ष्य पर ले जाएँ, फिर k डिस्कों को वापस रखें। सर्वोत्तम एल्गोरिद्म में हमेशा k = n − 1 होता है, यानी निचली को छोड़कर सभी डिस्क हटा दी जाती हैं। लेकिन अभ्यास के लिए अन्य विकल्प आज़माए जा सकते हैं, भले ही वे कम प्रभावी हों। यह अभ्यास व्यवहार में समझने में मदद करता है कि न्यूनतम चालों की संख्या 2^n − 1 क्यों है, और यह नोट करने में कि प्रत्येक अतिरिक्त डिस्क चालों को दोगुना करती है और एक जोड़ती है।
• बाइनरी कोड और टॉवर। Tower of Hanoi की चालों को बाइनरी संख्याओं की श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। प्रत्येक डिस्क एक अंक के बराबर होती है, और उसकी स्थिति उस अंक के परिवर्तन के बराबर। यहाँ Gray कोड से संबंध प्रकट होता है: एक स्थिति से दूसरी स्थिति में जाने पर केवल एक बिट बदलता है, जो एक डिस्क की चाल के बराबर होता है। यह अवलोकन हाथ से खेलने में अधिक मददगार नहीं है, लेकिन समस्या को 0 से 2^n − 1 तक सभी संख्याओं को बाइनरी रूप में क्रम से पार करने के रूप में देखने की अनुमति देता है। रुचि के लिए समाधान का एल्गोरिद्म किसी प्रोग्राम में लागू करने का प्रयास करें: यह पुनरावृत्ति और रणनीतिक सोच की समझ को मजबूत करता है।
• «अंधे» समाधान। एक और उपयोगी अभ्यास यह है कि Tower of Hanoi को बिना भौतिक सेट के हल करें और चालों को लिखें। डंडों को A, B और C नाम दें और स्थानांतरण का क्रम लिखें: उदाहरण के लिए, n = 2 के लिए — A → B, A → C, B → C; n = 3 के लिए — A → C, A → B, C → B, A → C, B → A, B → C, A → C। इन क्रमों में पुनरावृत्ति की संरचना स्पष्ट रूप से दिखाई देती है। पैटर्न को समझना समस्या को मानसिक रूप से हल करने की अनुमति देता है, जो अमूर्त सोच को बहुत विकसित करता है।
• अतिरिक्त डंडे। यदि बुनियादी संस्करण कठिन नहीं रह जाता, तो चार डंडों वाला खेल आज़माएँ। यहाँ न्यूनतम रणनीति इतनी स्पष्ट नहीं होती। चार डंडों के लिए सटीक सूत्र अज्ञात है, और कुछ एल्गोरिद्म की श्रेष्ठता अब तक अप्रमाणित है। हालाँकि, यह ज्ञात है कि 15 डिस्कों के लिए चार डंडों पर न्यूनतम समाधान 129 चालों की आवश्यकता होती है — जबकि तीन डंडों पर 32,767 की आवश्यकता होती। प्रयोग करें: किन डंडों पर मध्यवर्ती ढेर ले जाएँ, प्रत्येक चरण में कितनी डिस्क शामिल हों। यह रचनात्मक दृष्टिकोण विकसित करता है और पहेली के रणनीतिक सिद्धांतों को गहराई से समझने की अनुमति देता है।

Tower of Hanoi को हल करना सीखने का सबसे अच्छा तरीका एक स्पष्ट रणनीति का पालन करना है। पहले तीन डंडों के लिए बुनियादी विधि सीखें, फिर धीरे-धीरे डिस्कों की संख्या बढ़ाएँ, समय सीमा जोड़ें या «अंधे» समाधान आज़माएँ। यह पहेली अच्छी है क्योंकि यह हमेशा एक नया कठिनाई स्तर खोलती है और आगे बढ़ने की अनुमति देती है, चाहे खिलाड़ी का अनुभव कुछ भी हो।

Tower of Hanoi के नियमों और बुनियादी रणनीतियों में महारत हासिल करने के बाद, अभ्यास शुरू किया जा सकता है। खेल योजना बनाने और कई कदम आगे गणना करने की क्षमता का प्रशिक्षण देता है, ध्यान और धैर्य को विकसित करता है। भले ही शुरुआती प्रयास हमेशा सफल न हों, निरंतरता और एकाग्रता सफलता की गारंटी देती है। Tower of Hanoi स्पष्ट रूप से दिखाता है: सबसे कठिन समस्याएँ भी हल की जा सकती हैं यदि उन्हें सरल चरणों में विभाजित किया जाए और क्रमबद्ध रूप से पूरा किया जाए।

यह पहेली, जो 140 साल से अधिक पहले बनाई गई थी, आज भी प्रेरणा देती है। टॉवर को बनाने का प्रयास करके आप इस खेल के प्रशंसकों की लंबी परंपरा का हिस्सा बन जाते हैं — छात्रों से लेकर गणित के प्रोफेसरों तक। इसकी सार्वभौमिकता और गहराई Tower of Hanoi को समय से परे एक गतिविधि बनाती है, जो पीढ़ियों को जोड़ती है। क्या आप खुद को परखने के लिए तैयार हैं? अभी ऑनलाइन Tower of Hanoi खेलें — मुफ्त और बिना पंजीकरण!