Torres de Hanoi en línia, gratuït

Torres de Hanoi (Tower of Hanoi) — un dels trencaclosques lògics més coneguts de la història, envoltat d’una llegenda fascinant i un ric llegat cultural. Malgrat la simplicitat de la seva construcció — tres pals i un conjunt de discos de diferents diàmetres — aquest joc destaca per la profunditat de la lògica i l’atractiu del mite que l’acompanya. Inventat al segle XIX, Torres de Hanoi va guanyar ràpidament popularitat entre els aficionats als trencaclosques i els matemàtics de tot el món.

La seva història mereix atenció no només per les regles elegants, sinó també per la influència que el joc ha exercit en les cultures de diversos països, les pràctiques educatives i fins i tot la recerca científica. En aquest article analitzarem detalladament l’origen de Torres de Hanoi, seguirem l’evolució de la seva forma i significat, compartirem fets poc coneguts i després passarem a descriure les regles i les estratègies del joc. Com a resultat, descobrireu per què aquest trencaclosques ha captivat les ments de moltes generacions i per què encara es considera un exemple d’elegància intel·lectual.

Història de Torres de Hanoi

Origen i autor

El trencaclosques Torres de Hanoi va ser creat a França l’any 1883 i ràpidament es va fer conegut gràcies a la combinació poc habitual de simplicitat formal i una idea matemàtica elegant. El seu autor va ser el matemàtic francès Édouard Lucas — un erudit famós per les seves investigacions en teoria de nombres i també per la popularització de la ciència a través de la denominada «matemàtica recreativa».

No obstant això, Lucas va preferir presentar el joc al públic no amb el seu nom, sinó sota la figura fictícia del «professor N. Claus de Siam» — un personatge enigmàtic que suposadament havia portat l’enigma antic de Tonkin (la part nord del Vietnam actual). Aquesta mistificació, acompanyada d’una al·lusió a un origen exòtic, va donar al trencaclosques un halo romàntic i el va fer especialment atractiu per al públic europeu del segle XIX, fascinat per les llegendes i curiositats «orientals».

Amb el temps, investigadors atents van notar un joc de paraules ocult. Es va descobrir que el nom N. Claus (de Siam) era un anagrama de Lucas d’Amiens, i el «col·legi Li-Sou-Stian» mencionat a les descripcions es transformava, amb les lletres reordenades, en el nom real del liceu Saint Louis de París, on Lucas treballava com a professor. Així, la llegenda acuradament creada resultava ser un enginyós trencaclosques on l’autor mateix havia deixat la seva signatura.

El primer a revelar públicament aquesta mistificació va ser el divulgador científic francès Gaston Tissandier. En les seves publicacions va mostrar que darrere de la figura del «mandarí xinès» s’amagava el mateix Lucas, revelant així l’origen real del joc. Aquesta història va reforçar encara més la reputació de Torres de Hanoi no només com un trencaclosques captivador, sinó també com un fenomen cultural on la lògica s’entrellaça amb els símbols i les al·lusions.

Primera edició del joc

Inicialment el trencaclosques va aparèixer a França sota el nom de La Tour d’Hanoï i anava acompanyat d’una instrucció impresa que explicava de manera popular el seu origen mític. El conjunt incloïa una base de fusta amb tres pals verticals i vuit discos amb forats de diferents mides. L’elecció de vuit discos va ser feta pel mateix Édouard Lucas: aquesta quantitat semblava prou difícil perquè el joc mantingués l’interès, però al mateix temps accessible per resoldre’l.

Cada joc venia amb un petit fullet que narrava la llegenda de la torre de discos daurats. Aquest element artístic conferia al trencaclosques un to místic especial i el transformava en quelcom més que un simple problema matemàtic. Gràcies a la combinació reeixida de simplicitat de construcció i una llegenda brillant, el joc es va destacar immediatament entre altres entreteniments i va despertar un viu interès en el públic.

Als anys 1884–1885 les descripcions i les il·lustracions de Torres de Hanoi van començar a aparèixer en revistes populars. La publicació francesa La Nature va presentar una variant de la llegenda de la «torre de Brahma», mostrant el nou trencaclosques com una part d’un mite oriental. El mateix any, la revista nord-americana Popular Science Monthly va publicar una nota amb un gravat que mostrava el procés de resolució del problema. Aquestes publicacions van jugar un paper important en la difusió del joc fora de França: gràcies a la premsa es va conèixer a Europa i als Estats Units, cosa que va consolidar per a Torres de Hanoi l’estatus de trencaclosques clàssic digne tant dels científics com del gran públic.

Llegenda de la torre de Brahma

L’element clau de l’èxit del trencaclosques va ser la llegenda, inventada pel mateix Lucas o potser inspirada en relats antics. En aquesta història, l’acció es trasllada a un temple indi del déu Brahma (a vegades en les versions — a un monestir), on monjos o sacerdots es dediquen a una tasca eterna: moure 64 discos col·locats sobre tres pals de diamant. Segons la tradició, aquests discos van ser fets d’or pur i col·locats pel mateix déu en el moment de la creació del món. La regla és estricta i inflexible — només es pot moure un disc a la vegada i mai no es pot col·locar un de més gran sobre un de més petit.

Segons el mite, quan els 64 discos siguin traslladats d’un pal a un altre, el món arribarà al seu final. En diferents versions de la llegenda, el lloc dels esdeveniments varia: de vegades al Vietnam, a la ciutat de Hanoi, i d’altres a l’Índia, al temple de Benarés. Per això, el joc apareix tant com a «torre de Hanoi» com a «torre de Brahma». En alguns relats es diu que els monjos fan només un moviment al dia, en altres — que la seva feina no està limitada en el temps.

Tanmateix, fins i tot si imaginem l’escenari més ràpid — un moviment cada segon — la humanitat no hauria de preocupar-se: per completar la tasca calen 2^64 – 1 moviments, que equivalen a uns 585 mil milions d’anys. Aquesta durada supera desenes de vegades l’edat de l’Univers coneguda per la ciència moderna. Així, la llegenda no només donava un to dramàtic al trencaclosques, sinó que també contenia una dosi d’humor elegant: destacava la gran dificultat del problema i al mateix temps donava als matemàtics i als aficionats l’oportunitat de «calcular la fi del món» dins els límits d’un conte bonic.

Difusió i desenvolupament

El joc Torres de Hanoi va guanyar ràpidament popularitat a Europa. A finals del segle XIX ja era conegut no només a França, sinó també a Anglaterra i a Amèrica del Nord. L’any 1889 Édouard Lucas va publicar un llibret dedicat al trencaclosques, i després de la seva mort el 1891, el problema va ser inclòs en un volum pòstum de la seva famosa obra «Récréations mathématiques». Gràcies a aquesta edició, Torres de Hanoi es va consolidar definitivament com a part del patrimoni clàssic de la matemàtica recreativa.

En aquella mateixa època el trencaclosques es va començar a difondre sota noms diferents: «torre de Brahma», «torre de Lucas» i d’altres, depenent del país i de l’editor. Els fabricants de joguines de diversos països produïen les seves pròpies versions del conjunt, ja que Lucas no havia registrat cap patent i la construcció podia ser copiada lliurement. A Anglaterra, a principis del segle XX, per exemple, es trobaven edicions sota el nom The Brahma Puzzle. Es coneixen exemplars conservats produïts a Londres per l’empresa R. Journet cap als anys 1910–1920, on a la caixa es publicava el text de la llegenda dels sacerdots i els 64 discos d’or.

Als Estats Units, Torres de Hanoi va entrar a formar part de l’assortiment de «joguines científiques» populars i ràpidament va trobar el seu lloc al costat d’altres entreteniments lògics coneguts. La simplicitat de la construcció — tres pals i un conjunt de discos — feia que fos fàcil de reproduir el joc, i les variants de la llegenda el feien encara més atractiu. En les primeres dècades del segle XX el trencaclosques es va difondre en milers d’exemplars i va ocupar un lloc entre clàssics com el trencaclosques del 15, i més tard el cub de Rubik (tot i que, per descomptat, Torres de Hanoi va aparèixer molt abans que el cub).

Immutabilitat de les regles i significat científic

Des del seu origen, les regles de Torres de Hanoi pràcticament no han canviat. El principi fonamental — moure els discos només d’un en un i no col·locar mai un de més gran sobre un de més petit — ha romàs exactament igual que com el va formular Édouard Lucas el 1883. La immutabilitat de les regles mostra la perfecció del disseny inicial.

Amb el temps, però, el significat del joc va canviar: va deixar de ser només un entreteniment refinat i es va convertir en una eina per a diversos camps del coneixement. Els matemàtics es van fixar en la regularitat del nombre mínim de moviments: la seqüència 1, 3, 7, 15, 31 i així successivament. Aquesta progressió estava relacionada amb les relacions binomials i el sistema de numeració binari, i l’estructura mateixa del problema demostrava clarament la connexió entre els jocs lògics i els fonaments teòrics de la matemàtica.

En informàtica, Torres de Hanoi es va convertir en un exemple clàssic de recursivitat — un mètode en què un problema es divideix en diversos subproblemes similars de mida menor. A la segona meitat del segle XX, el trencaclosques es va incloure en els cursos de programació: els estudiants aprenien a escriure algoritmes recursius i veien com la divisió elegant d’un problema complex en parts conduïa a una solució simple i refinada.

Amb el temps el joc també es va començar a utilitzar en psicologia. El «test de Torres de Hanoi» s’aplica per avaluar les capacitats cognitives de la persona, la seva habilitat per planificar accions i retenir en memòria la seqüència de passos. Aquests exercicis s’utilitzen en el diagnòstic de conseqüències de traumatismes cranioencefàlics, en la recerca d’alteracions cognitives relacionades amb l’edat i en l’estudi del funcionament dels lòbuls frontals del cervell.

Com a resultat, Torres de Hanoi va superar fa temps les fronteres d’una diversió de saló del segle XIX. Avui dia és percebut com una eina universal — educativa, científica i diagnòstica. La forma simple amb tres pals i un conjunt de discos s’ha convertit en la base de nombrosos estudis, i el joc ha mantingut el seu atractiu tant per als amants dels trencaclosques lògics com per als professionals de la matemàtica, la informàtica i la psicologia.

Geografia de la popularitat

El nom Torres de Hanoi remet directament a la capital del Vietnam — la ciutat de Hanoi, encara que el trencaclosques no té arrels orientals reals i va ser inventat completament a França a finals del segle XIX. Tot i així, el to exòtic de la llegenda va resultar ser molt reeixit: va donar al joc un aire misteriós i va afavorir la seva àmplia difusió. És per això que en diversos països es va consolidar sota un nom relacionat amb Hanoi: en el món anglòfon — Tower of Hanoi, a França — Tour d’Hanoï, a Alemanya — Türme von Hanoi, i així successivament.

A la Unió Soviètica el trencaclosques es va conèixer no més tard dels anys seixanta: es va incloure en col·leccions de problemes entretinguts i en llibres sobre matemàtiques recreatives. Per a diverses generacions d’escolars, Torres de Hanoi es va convertir en un clàssic familiar, i més tard va rebre adaptacions informàtiques.

És curiós que al Vietnam, encara que no existeixen testimonis històrics d’un trencaclosques antic similar, el joc també es va difondre i es coneix en traducció. Així, va tornar al país el nom del qual havia estat utilitzat a la llegenda, ja com una invenció europea.

La geografia de la popularitat de Torres de Hanoi avui dia abasta literalment tot el món. Es pot trobar a les llars d’infants, on els més petits practiquen movent anells de colors, i a les aules universitàries, on estudiants d’informàtica programen la resolució del problema com a exemple d’algoritme recursiu. La simplicitat de fabricació — n’hi ha prou amb unes quantes fustes i un conjunt de discos — i la universalitat de les regles han fet d’aquest trencaclosques un veritable patrimoni mundial, reconegut i igualment interessant a qualsevol cultura.

La història de Torres de Hanoi és rica en detalls, però no menys interessants són els episodis i relats rars que van acompanyar el seu camí i li van donar un color especial.

Fets interessants sobre Torres de Hanoi

• Rècord pel nombre de discos. En museus i col·leccions privades es poden trobar versions gegants de Torres de Hanoi amb trenta o fins i tot més discos. El nombre mínim de moviments per a un problema així supera els mil milions, per la qual cosa resoldre’l manualment és pràcticament impossible. Aquests conjunts no es creaven per jugar-hi, sinó com a peces d’exhibició espectaculars que subratllen la complexitat infinita i la profunditat matemàtica del trencaclosques.
• La torre en la cultura popular. Torres de Hanoi ha aparegut repetidament en la literatura, el cinema i les sèries de televisió. En el conegut relat de ciència-ficció de l’escriptor nord-americà Eric Frank Russell «Now Inhale» (1959), el protagonista, esperant la seva execució per extraterrestres, tria el joc Torres de Hanoi com el seu «darrer desig». Ho fa conscientment, sabent la llegendària infinitud del problema. Per donar un caràcter competitiu als esdeveniments, els extraterrestres transformen el trencaclosques en un duel: dos jugadors fan moviments alternativament, i el guanyador és qui fa l’últim moviment. Triant la torre amb 64 discos, el protagonista s’assegura de fet un ajornament infinit. També al cinema modern hi apareix el joc. A la pel·lícula «Rise of the Planet of the Apes» (2011), Torres de Hanoi s’utilitza com a prova d’intel·ligència per a simis modificats genèticament: un d’ells construeix la torre de quatre anells en vint moviments. Encara que això supera el nombre mínim possible (la solució òptima serien quinze moviments), l’escena ressalta les capacitats mentals dels animals i mostra visualment la dificultat del problema. La sèrie britànica clàssica «Doctor Who» també va incloure aquest trencaclosques. A l’episodi «The Celestial Toymaker» (1966) es proposa al Doctor resoldre un Torres de Hanoi amb deu discos. La condició era molt estricta: havia de fer exactament 1023 moviments — ni més ni menys. Aquesta xifra no va ser triada a l’atzar: 1023 és el nombre mínim possible de moviments per a un problema amb deu discos. Així, el protagonista havia de recórrer tot el camí sense un sol error, cosa que va reforçar una vegada més la reputació de Torres de Hanoi com a prova gairebé insuperable fins i tot per a un geni viatger en el temps.
• Presència en videojocs. És interessant que Torres de Hanoi s’hagi convertit en una mena d’«estàndard de trencaclosques» i hagi penetrat en el món dels videojocs. L’estudi canadenc BioWare és conegut per incloure un mini-joc basat en Torres de Hanoi en molts dels seus projectes. Per exemple, en el joc de rol Jade Empire hi ha una missió en què cal moure anells entre pals, i es poden trobar trencaclosques similars en les famoses sèries Star Wars: Knights of the Old Republic, Mass Effect i Dragon Age: Inquisition. Aquests episodis sovint es presenten com a mecanismes antics o proves que requereixen enginy del protagonista. El trencaclosques també apareix en aventures clàssiques, per exemple, en el joc The Legend of Kyrandia: Hand of Fate un dels mecanismes enigmàtics és el mateix Torres de Hanoi, disfressat com un ritual màgic. Aquestes aparicions reforcen la imatge de Torres de Hanoi com a símbol universal d’un problema lògic.
• Aspecte educatiu. A més de llegendes i entreteniment, Torres de Hanoi ha deixat empremta en la ciència. El 2013 els científics van publicar la monografia «The Tower of Hanoi: Myths and Maths» (Hinz et al.), que estudia en detall les propietats matemàtiques del trencaclosques i les seves variacions. Es va descobrir que al seu voltant s’ha construït tota una teoria dels «grafs de Torres de Hanoi», relacionada amb el fractal de Sierpinski i altres camps de la matemàtica. En psicologia cognitiva existeix el test «Torres de Hanoi», amb el qual es comproven les funcions executives del cervell — la capacitat de planificar i seguir regles complexes. En medicina aquest test s’utilitza per avaluar el grau de recuperació dels pacients després de lesions cerebrals: la capacitat de resoldre el problema serveix com a marcador del funcionament dels lòbuls frontals i la formació de noves connexions neuronals. Així, un joc que abans es venia com una simple joguina divertida s’ha convertit en objecte de recerca seriosa i fins i tot en eina de rehabilitació.

La història de Torres de Hanoi és un exemple brillant de com una idea matemàtica elegant pot esdevenir un fenomen cultural. Aquest trencaclosques va néixer a la intersecció de l’entreteniment i la ciència, es va envoltar de mites i simbolisme, però no va perdre el seu atractiu principal — la bellesa lògica pura. Des dels salons parisencs de finals del segle XIX fins a les aules modernes i les aplicacions digitals, Torres de Hanoi manté l’estatus de clàssic intel·lectual. Fa reflexionar sobre el poder del pensament recursiu, ensenya paciència i planificació precisa. Coneixent la seva història, és inevitable sentir respecte per aquesta petita torre de discos — símbol de la recerca infinita de solucions.

Voleu sentir-vos com un sacerdot que té el destí del món a les seves mans, o simplement posar a prova el vostre pensament lògic? A la segona part explicarem com jugar a Torres de Hanoi, descriurem detalladament les regles i compartirem consells per resoldre aquest trencaclosques llegendari. Que el coneixement de la història us inspiri en l’aprenentatge del joc — us espera un desafiament intel·lectual captivador.

El trencaclosques va adquirir fama mundial no només gràcies a la llegenda, sinó també per la seva mecànica atractiva. A continuació descriurem amb detall com jugar a Torres de Hanoi i revelarem alguns trucs tàctics. Proveu les vostres forces en la resolució d’aquest problema — potser el procés us captivarà tant com la història de la seva creació.

Torres de Hanoi — un trencaclosques lògic de taula per a un sol jugador (o competitiu per a dos, si es resol a velocitat). El conjunt clàssic consta d’una base amb tres pals verticals i un joc de discos de diàmetre diferent (normalment de 5 a 8 en les versions modernes). Al començament, tots els discos estan col·locats al pal de l’esquerra, formant una piràmide on cada disc més gran es troba sota un de més petit.

L’objectiu del joc — traslladar tota la piràmide a un altre pal (sovint es diu que al de la dreta) amb el mínim nombre de moviments. La partida no té límit de temps: la seva durada depèn del nombre de discos i de l’experiència del jugador. Així, el repte amb tres discos es resol en pocs minuts, mentre que moure vuit discos pot portar fins a quinze minuts de treball concentrat. Torres de Hanoi desenvolupa el pensament lògic, l’atenció i la paciència, i per això és igualment apreciat per infants i adults.

A primera vista, Torres de Hanoi sembla una tasca elemental, però darrere de la seva simplicitat hi ha una lògica estricta. Traslladant la piràmide segons les regles, el jugador aprèn en la pràctica el principi de la recursió: un objectiu gran esdevé assolible si es divideix en una seqüència de passos més petits. Aquesta estructura fomenta la capacitat de planificar accions i concentrar-se, i acabar la partida aporta una satisfacció especial d’una solució ben estructurada.

Regles de Torres de Hanoi: com jugar

Objectiu del joc

La tasca del jugador és traslladar tota la torre — la pila de discos — del pal inicial a un altre. Cal mantenir l’ordre original: al pal de destí els discos han de formar una piràmide correcta, on cada element més gran es troba sota un de més petit. En altres paraules, el resultat ha de reproduir completament la construcció inicial, només que sobre un altre suport.

Equipament

Per jugar s’utilitza una base amb tres pals verticals, designats convencionalment com A, B i C. A més, cal un joc de n discos de diàmetre diferent (n ≥ 3; en la versió clàssica — 8). Tots els discos tenen un forat i poden moure’s lliurement entre els pals. A l’inici de la partida estan apilats al pal A i formen una piràmide: el disc més gran a baix i, al damunt, successivament els més petits.

Regles dels moviments

• Moure un disc. Cada moviment consisteix a treure el disc superior d’un pal i col·locar-lo en un altre. El disc sempre es pren només de la part superior de la pila, de manera que els elements inferiors romanen immòbils fins que no s’alliberen. No es permet moure diversos discos alhora: el joc es basa en passos consecutius, en què tota la construcció es torna a muntar gradualment.
• Restricció de mida. No es pot col·locar un disc més gran sobre un de més petit. Aquesta regla garanteix la preservació de l’estructura de la piràmide: a cada pal els discos han d’estar disposats de dalt a baix en ordre creixent — dels més petits als més grans. En moure, un disc es pot col·locar en un pal buit o sobre un de diàmetre més gran, mantenint així l’ordre correcte. Qualsevol intent de trencar aquesta condició fa que el moviment sigui invàlid.
• Pal de destí. En la versió clàssica, l’objectiu es formula com el trasllat de tota la piràmide del pal A (esquerra) al pal C (dreta), mentre que el pal B serveix de suport auxiliar. Aquesta condició dóna direcció i fa que la tasca sigui inequívoca. Tanmateix, en general, la torre es pot traslladar a qualsevol dels dos pals lliures: si al principi no s’especifica quin és el pal de destí, el resultat serà equivalent — el que importa és la reproducció exacta de la piràmide en el nou lloc.

Desenvolupament de la partida

El jugador fa moviments successius d’acord amb les regles. El primer moviment és sempre amb el disc més petit — és l’únic lliure al començament. Es pot traslladar al pal del mig o al de la dreta. El desenvolupament posterior depèn de la decisió presa. La partida continua fins que tota la piràmide queda muntada al pal de destí.

Final de la partida

El joc es considera resolt quan tota la torre ha estat traslladada al pal de destí i reproduïda en l’ordre original: el disc més gran a baix i el més petit a dalt. L’estructura final ha de correspondre completament a la piràmide inicial, només que en un altre lloc.

Nombre mínim de moviments

S’ha demostrat teòricament que el nombre òptim de moviments per resoldre Torres de Hanoi amb n discos és igual a 2^n − 1. Per a valors petits és fàcil comprovar-ho: amb tres discos — 7 moviments, amb quatre — 15, amb cinc — 31. Per exemple, amb vuit discos calen 255 moviments, amb deu — ja 1023. Qualsevol desviació de l’estratègia òptima incrementa el nombre de moviments, per això els jugadors experimentats intenten seguir el camí mínim.

Variacions de les regles

La versió clàssica implica tres pals i la possibilitat de moure un disc lliurement a qualsevol altre. Tot i això, existeixen modificacions i complicacions reconegudes.

• Amb pals addicionals. Afegir un quart o cinquè pal comporta la cerca de nous algorismes de trasllat. Es coneix que amb quatre pals el nombre mínim de moviments és menor que amb tres (aquesta versió és coneguda com Reve’s Puzzle). Així, vuit discos es poden traslladar en 129 moviments en lloc de 255. Per a un nombre arbitrari de pals no hi ha fórmula universal: es fa servir la hipòtesi de Frame-Stewart, que resta sense demostrar des de fa més de set dècades.
• Torre cíclica. En aquesta versió els pals es col·loquen en cercle, i els discos només es poden moure en una direcció (per exemple, en sentit horari), sense «saltar» cap pal intermedi. Així, d’A només es pot moure a B, de B a C, i així successivament. Aquesta restricció complica molt l’estratègia i augmenta el nombre de moviments, tot i que la lògica recursiva continua essent la base de la solució.
• Triangle màgic. Una altra variant on els tres pals es col·loquen als vèrtexs d’un triangle. Les mateixes regles s’apliquen (un disc a cada moviment, no es pot col·locar un disc gran sobre un de petit), però s’afegeix una condició extra: el disc més petit només es pot moure en sentit horari, mentre que els altres en sentit contrari. Aquesta versió s’assembla molt a la torre cíclica i està vinculada amb l’ús del codi binari de Gray (Frank Gray): la seqüència de moviments dels discos coincideix amb els codis ordenats sense passos sobrers.

Malgrat les diferències de les variacions — pals addicionals, disposició circular o restriccions de direcció —, la idea principal es manté: l’estructura del problema no canvia. Això demostra la universalitat de la idea de Lucas: es pot modificar i complicar, però la lògica original roman clara i inalterable.

Consells per a jugadors principiants de Torres de Hanoi

Un cop enteses les regles bàsiques, sorgeix el desig natural de provar de resoldre Torres de Hanoi pel propi compte. Perquè els primers passos tinguin sentit, és útil basar-se en enfocaments provats. A continuació es recullen consells pràctics — des de tàctiques senzilles per dominar ràpidament el mètode bàsic fins a tècniques més fines que ajuden a evitar errors comuns i a desenvolupar habilitats pròpies.

Enfocaments tàctics

Les tècniques tàctiques permeten convertir la resolució de Torres de Hanoi en un sistema clar de passos. Encara que el repte sembli complex, una bona estratègia el transforma en una seqüència d’accions simples. A continuació es mostren els enfocaments principals que ajuden a organitzar el joc i acostar-se al nombre òptim de moviments.

• L’algorisme «allibera el disc gran». L’element clau del trencaclosques és el disc més gran. No es pot moure fins que tots els altres no hagin estat retirats. Per això, la solució sempre té dues fases: primer cal treure n − 1 discos més petits i traslladar-los al pal auxiliar, després moure el disc més gran al pal de destí i, finalment, reconstruir-hi la piràmide amb els n − 1 discos. Aquest mètode és la base del procediment recursiu: per traslladar una torre de n discos, primer cal resoldre la mateixa tasca amb n − 1 discos. En la pràctica, això significa que l’atenció del jugador ha d’estar centrada a alliberar el camí per al disc més gran.
• El paper del disc més petit. El disc més petit és el més mòbil i marca el ritme de la partida. Hi ha una estratègia en què es mou a cada dos moviments, alternant-se amb els altres discos. Amb un nombre senar de discos, el primer moviment és sempre cap al pal de destí (A → C); amb un nombre parell — cap a l’auxiliar (A → B). Després, el disc petit es mou en cercle: amb n senar — en sentit horari (A → C → B → A ...), amb n parell — en sentit antihorari (A → B → C → A ...). Aquest esquema regular automatitza la meitat dels moviments i fa el procés previsible.
• L’únic moviment possible. Després de cada moviment del disc petit, només un altre disc pot moure’s sense trencar les regles. Això vol dir que l’estratègia consisteix a alternar: «disc petit → l’únic disc gran permès → petit → gran únic...». Aquest algorisme garanteix la resolució amb el nombre mínim de moviments i protegeix de les errades fins i tot els principiants.

Errors habituals dels principiants

Tot i conèixer les regles, els principiants sovint cometen els mateixos errors. Aquests errors no fan que el problema sigui irresoluble, però augmenten significativament el nombre de moviments i treuen coherència a la solució. Analitzar les equivocacions més comunes ajuda a entendre què evitar i com establir una estratègia més eficient.

• Moviments aleatoris sense pla. Un error comú és moure els discos de manera caòtica, sense una estratègia general. Aquest mètode pot funcionar amb 3-4 discos, però amb 5-6 porta a repeticions inútils. És més raonable seguir directament un algorisme: alliberar el disc gran, traslladar-lo i reconstruir la piràmide. Una estratègia pensada evita moviments innecessaris i estalvia temps.
• Incomplir la regla de mida. Els principiants a vegades intenten col·locar un disc gran sobre un de petit. Amb un joc físic això és possible, però viola les regles i fa que la disposició sigui incorrecta. A les versions digitals aquestes accions solen ser bloquejades pel programa. Comproveu sempre que el disc es col·loqui en un pal buit o sobre un disc més gran.
• Intent de desmuntar completament la torre. Alguns principiants volen «descarregar» tots els discos als pals lliures, pensant que després serà més fàcil reconstruir la piràmide al pal de destí. El joc no ho permet: un dels pals sempre resta ocupat i bloqueja els moviments. El camí eficient és el trasllat per etapes: moure una part dels discos al pal auxiliar, traslladar el disc clau (gran) i després retornar la part retirada.
• Pressa i manca d’atenció. Torres de Hanoi és un joc pausat. Els moviments precipitats porten a ometre passos necessaris i augmentar el nombre de trasllats. Sobretot al principi, és útil mantenir un ritme constant, controlar l’estat de tots tres pals i calcular per endavant les conseqüències de cada moviment; així és més fàcil aconseguir la solució mínima.

Estratègies per a jugadors avançats

Quan les tècniques bàsiques ja estan apreses i la resolució de la torre clàssica deixa de ser un problema, apareix la voluntat de provar enfocaments més complexos. Les estratègies avançades permeten veure darrere del joc simple una estructura matemàtica profunda, amplien la comprensió de la recursió i possibiliten treballar amb reptes de més discos o en versions complicades. A continuació es presenten tècniques que desenvolupen el pensament estratègic i converteixen el joc en un veritable desafiament intel·lectual.

• Pensament recursiu. Després de dominar la torre clàssica amb 5-6 discos, proveu d’aplicar conscientment l’enfocament recursiu per a n més grans. Dividiu el problema en etapes: traslladeu els k discos superiors al pal auxiliar, moveu el disc (n − k) al pal de destí i després retorneu els k discos a sobre. A l’algorisme òptim sempre k = n − 1, és a dir, es retiren tots menys l’inferior. Però com a exercici es poden provar altres opcions. Això ajuda a entendre per què el nombre mínim de moviments és 2^n − 1 i a observar que cada disc addicional duplica els moviments i n’afegeix un més.
• Codi binari i torre. Els moviments de Torres de Hanoi es poden representar com una seqüència de nombres binaris. Cada disc correspon a una xifra i la seva posició al canvi d’aquesta xifra. Aquí es veu la connexió amb el codi de Gray: en passar d’un estat a un altre només canvia un bit, cosa que equival al moviment d’un disc. Aquesta observació és poc útil en el joc manual, però permet veure el problema com el recorregut seqüencial de tots els nombres de 0 a 2^n − 1 en binari. Per interès, proveu d’implementar l’algorisme en un programa: això enfortirà la comprensió de la recursió i del pensament estratègic.
• Resolució «a cegues». Una altra pràctica útil és resoldre Torres de Hanoi sense el joc físic, registrant només els moviments. Nommeu els pals A, B i C i anoteu la seqüència de moviments: per exemple, amb n = 2 — A → B, A → C, B → C; amb n = 3 — A → C, A → B, C → B, A → C, B → A, B → C, A → C. En aquestes seqüències la estructura recursiva es veu clarament. Comprendre el patró permet resoldre el problema mentalment, cosa que fomenta el pensament abstracte.
• Pals addicionals. Si la versió bàsica ja no representa dificultat, proveu el joc amb quatre pals. Aquí l’estratègia mínima no és tan evident. Per a quatre pals no hi ha una fórmula exacta, i l’optimalitat de certs algorismes resta sense demostrar. Tot i això, se sap que per a 15 discos la solució mínima amb quatre pals requereix 129 moviments — mentre que amb tres serien 32 767. Experimenteu: a quins pals traslladar piles intermèdies, quants discos moure a cada etapa. Això desenvolupa la creativitat i ajuda a comprendre més a fons els principis estratègics del trencaclosques.

El millor camí per aprendre a resoldre Torres de Hanoi és seguir una estratègia clara. Primer convé dominar el mètode bàsic amb tres pals, després augmentar gradualment el nombre de discos, introduir límits de temps o provar la resolució «a cegues». Aquest trencaclosques és valuós perquè sempre ofereix un nou nivell de dificultat i permet progressar, independentment de l’experiència del jugador.

Un cop apreses les regles de Torres de Hanoi i les estratègies principals, és hora de passar a la pràctica. El joc entrena la capacitat de planificar i preveure diversos passos per endavant, desenvolupa l’atenció i la paciència. Encara que els primers intents no sempre siguin reeixits, la constància i la concentració garanteixen l’èxit. Torres de Hanoi mostra clarament que fins i tot els reptes més difícils es poden resoldre si es divideixen en passos simples i s’executen de manera consecutiva.

Creat fa més de 140 anys, aquest trencaclosques continua inspirant avui. En provar de muntar la torre, us convertiu en part d’una llarga tradició d’aficionats a aquest joc — des d’escolars fins a professors de matemàtiques. La seva universalitat i profunditat fan de Torres de Hanoi una activitat atemporal que uneix generacions. Preparats per posar-vos a prova? Jogueu a Torres de Hanoi en línia ara mateix — gratis i sense registre!